高一数学 因数分解 画像あり 青四角で囲ってある部分です。 なぜこのように因数分解できるとすぐわかる

高一数学 因数分解 画像あり

青四角で囲ってある部分です。
なぜこのように因数分解できるとすぐわかるのですか？
低次数の文字から降べきの順整理してやるのに、それだと全然できません。これを
どうやって素早く解くのか教えて欲しいです。
宜しくお願いします“(. .*)

No.9 回答者： sc348253 回答日時： 2023/12/04 10:47

<高一なので因数定理とかはよくわかりません。

>
かって　高1で習ったが　剰余の定理から出てくるもので！

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/02 18:22

＞ 最終的に a=b を示すということがはじめからわかってはないです。

質問文には、問題に与えられた条件が書かれてなくて、
式変形のとこだけだからねえ...
計算前に a=b になりそうなことが予想できた上での計算だったのかどうか
は、その質問文では判らない。

一般論として、やみくもに計算して答えを見つけるよりも、
結論を予測して計算で証明すると考えたほうが
話の筋が解りやすくなる場合は多い。

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2023/11/28 21:13

囲ってある式の前は c で整理して、

c の係数に (b-a) や (b²-a²）が出てきますね。
計算の目的は この式が出てくるように考えています。
b³-a²b-a³+ab²=(b³-a²b)+(ab²-a³)
=b(b²-a²)+a(b²-a²)=b(b+a)(b-a)+a(b+a)(b-a) 。

No.6 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2023/11/22 12:49

cの2乗項と1乗項から(b-a)をくくりだせることが期待できる。

cを含まない項についてbについて次数の順に並べて、一時的に考えの筋からずれるが(b-a)の項がでそうなのでやってみる
b^3+ab^2-a^2b-a^3=b^2(b+a)-a^2(b+a)=(b+a)(b^2-a^2)
=(b+a)(b-a)(b+a)
(b-a)の項がでた

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2023/12/02 16:04

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2023/11/21 11:12

b^3 -b a^2 -a^3 +ab^2=b(b+a)(b-a)+a(b+a)(b-a) ですね！

=f(a,b)とおけば
f(a,a)= (a)^3 -(a)a^2 -a^3 +a(a)^2=0 から因数定理から
b= a つまり　 b-a という因数を持つので 出てきます！

b^3 -b a^2 -a^3 +ab^2=b^3 -a^3 +ab^2 -b a^2
=(b－a)(b^2 +ab+a^2) +ab(b-a)
=(b-a)(b^2 +ab+a^2 +ab)
=(b-a){b(b+a)+a(a+b)}
=b(b+a)(b-a) +a(b+a)(b-a)

f(a,b)において　
f(b,a)=a^3 -a b^2 -b^3 +b a^2= -(b^3 -b a^2 -a^3 +ab^2)= - f(a,b) なので　交代式だから
f(b,b) = - f(b,b) となるが　この式が成立するためには　f(b,b)=0
であるから　a=b 即ち　a-b という因数があるので　出てきます！
https://manabitimes.jp/math/695#3

この回答へのお礼

ありがとうございます！！高一なので因数定理とかはよくわかりません(._.`)すみません。。

お礼日時：2023/12/02 16:05

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/11/19 13:37

この式をいじくる目的は「 a = b を導くこと」であり、そして「この式をいじくればa = bが導けるに違いない」と考えているんですよね。

だったら
　　A = (a + b)/2
　　B = (a - b)/2
と置き換えてB = 0 を導くことを目的にすれば見通しがよくなります。

　　(b + c)(b² + c² - a²) = (c + a)(a² + c² - b²)
に
　　a = A + B
　　b = A - B
を代入すると
　　(A - B + c)((A - B)² + c² - (A + B)²) = (c + A + B)((A + B)² + c² - (A - B)²)
括弧内を整理すると
　　(A - B + c)(c² - 4AB) = (c + A + B)(c² + 4AB)
そこでc²と4ABそれぞれをマトメてみると
　　c²((A - B + c) - (c + A + B)) = 4AB((c + A + B) + (A - B + c))
括弧内を整理すると
　　- 2Bc² = 8AB(A + c)
移項してBでククルと
　　B(4A(A + c) + c²) = 0
展開して
　　B(4A² + 4Ac + c²) = 0
この因数分解は見慣れているんじゃないかな。
　　B(2A + c)² = 0
つまり
　　(a - b)(a + b + c)² = 0

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/18 14:58

最終的に a=b を示したいんだから、

条件式が (b-a){ }=0 という形に整理できないか
考えるわけですよね。
c の二次項、一次項の係数がどちらも b-a で割り切れる
ことから、c についての定数項も b-a で割り切れれば
b-a が括りだせることになります。
b^3-a^2b+ab^2-a^3 は b-a で割り切れるでしょうか？
b^3-a^2b+ab^2-a^3 の b に b=a を代入してみれば、
値が 0 になることから割り切れると解ります。
割った商は、実際に文字式の割り算をして求めましょう。
すると、式が (b-a){ c^2 + 2(b+a)c + (b^2+2ab+a^2) }=0
まで一気に変形されます。その先は、比較的易しいでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます！最終的にa＝bを示すということがはじめからわかってはないです。式を変形して導かれた形から図形の形を答えるというsincos系の問題です>_<
その場合でもa＝b前提になりますか…？教えて下さると助かりますm(_ _)m

お礼日時：2023/12/02 16:08

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/11/18 14:32

ちなみに、この部分はabともに最高次数が3次

どちらの文字が最高次数最低と言う区別はできません
だから、どちらの文字について整理しても良いが
今回上の囲み
は並び順が整っていないが
すでに、次数最低の文字について整理
というのはすでにできていることになります

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/11/18 14:17

前半部分と後半部分にわけてから

それぞれ共通因数をくくりだしてあげる
といすステップが省略されてます