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鉛直ばね振り子の問題で、運動方程式がma=-kxとなったことより、おもりに働く力は弾性力のみと置き換えられるというのはどういうことなのでしょうか?なぜ重力を含めて1/2kx^2(単振動の中心の位置基準)で求められるのか分かりません

A 回答 (5件)

こちらの問題…オモリに働く合力が-kxというところまで納得されましたか?

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こう考えるとよいかな…



例えば水平面におかれた物体に

左向きに9ニュートン右向きに6ニュートン

が働いているとする

合わせると、左向きの単独の力3ニュートンが左に働いているのと同じ


また

左向きに10ニュートン右向きに7ニュートン

が働いているとする

この場合も合わせると、左向きの単独の力3ニュートンが働いているのと同じ


いづれの場合も合力3ニュートンと分かったあとは

考えるのはこの3ニュートンの力一つだけであって

力を合成する前は左にいくら、右にいくらの大きさの力がかかっていたかなんて言うのは

意識しなくなる

考えに入って来なくなるで

もっと言えば

物体に働く合力が3ニュートン

ということしか知らされていない場合

もともとそれ左向きに9ニュートン右向きに6ニュートン

が働いていたなんて言うのはわからない

例えば、左向きに8ニュートン右向きに5ニュートンなどであった可能性など

パターンは無限にあるから…


それと同じこと

鉛直方向ではあるが

合力が-kxという式だけを見せられたら

それのもとは、ばねの力と重力であったなんて特定できないし

考えに入れない

先ほどの例で3ニュートンだけを相手にして考えたのと同じで

合力-kxだけを考え

重力などは考えに入れないので

考えに入っていない力から生じるエネルギー(重力の位置エネルギー)もまた式に表さない

こういうことです
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-kxには重力が含まれていますよね。


-kxから位置エネルギーを算出したものが
1/2kx²ですから
重力を含んだものから導出した1/2kx2にも
重力による位置エネルギーのことが
含まれているというわけです



以上まとめでした
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ma=FのFの部分が


-kxになったのなら
それは、仮にオモリに働く力が-kxのみときに立てた式と同じ式ですね
言い換えとオモリに働く合力は-kx
ということです
合力とは重力とバネの力を合算したあとの力なので
-kxという力を考えるときは、重力やバネの力は最早意識してはいません!


ところで物体に単振動の復元力がはたらくとき
その復元力は
F=-kxという式で書けます、(X軸が水平かそれとも鉛直かというのは関係ありません)
なぜかというのは教科書に書いてあります。
だから、今回のように、オモリに働く合力が-kxで
これは、オモリに働く力は復元力のみと言い換えることができます
(弾性力という表現だとやや不適切かもしれませんので復元力という表現にしました)
それは、オモリに-kxの力しか働いていない状態でX軸方向に単振動しているのと同じことを意味します

-kxしか力が働いていないということは
重力などが働いていないというのと同じ

重力mgが働いてない(とみなす)なら
mgから派生する位置エネルギーmghも式に現われて来ないというわけです。
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解説のその部分だけ切り抜いても


説明不足で何を言ってるのか伝わりにくいですが、
おそらく...

バネ定数 k のバネに質量 m のオモリをつけて静置すると、
バネの自然長からの伸び d は、重力加速度を g として
kd = mg と書ける。
バネが d 伸びたときのオモリの位置を、
釣り合いの位置と呼ぶことにする。

一方、バネを振動させたときのオモリの位置を、
釣り合いの位置を 0、鉛直下方を正として測ったものを x とすると、
オモリの加速度を a として運動方程式は
ma = mg - k(d+x) と書ける。

ふたつの式から計算して g を消去すると
ma = -kx となる。
これは、バネとオモリを水平面内で振動させるときと同じ式で、
あたかも、オモリに働く力が弾性力のみであるかのように見える
...って話でしょう。
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