数学の条件付き確率での質問です。 袋Xには白玉3個黒玉2個、袋Ｙには白玉2個黒玉3個入っている。袋X

数学の条件付き確率での質問です。
袋Xには白玉3個黒玉2個、袋Ｙには白玉2個黒玉3個入っている。袋Xから2個取りだしてそれを袋Ｙに入れ、その後袋Ｙから１個取り出すという操作をする。
袋Ｙから取り出した玉が白玉だった時、それが袋Xの白玉である確率を求めなさい。
という問題なんですが、解説をお願いします。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/11/24 17:06

条件付き確率P(袋X｜白)を求めたいのですよね。

条件付き確率の前後が逆転した、P(白｜袋X)＝3/5、P(白｜袋Y)＝2/5は分かっていますので、次のベイズの公式に当てはめて計算します。

P(袋X｜白)＝{P(袋X)・P(白｜袋X)}／Σ{P(袋i)・P(白｜袋i)}

先に分母を計算します。
事前確率P(袋X)は2/7、P(袋Y)は5/7ですから、

Σ{P(袋i)・P(白｜袋i)}
＝P(袋X)・P(白｜袋X)＋P(袋Y)・P(白｜袋Y)
＝2/7・3/5＋5/7・2/5＝16/35

よって、

P(袋X｜白)
＝{P(袋X)・P(白｜袋X)}／Σ{P(袋i)・P(白｜袋i)}
＝（6/35）／（16/35）
＝6／16
＝3／8

ベイズの公式は、式の両辺で条件付き確率の前後が逆転しますので、ベイズでやるのが楽だと思います。場合分けなどしなくても計算できます。

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2023/11/24 14:23

X; 白3　黒2　　→2個→Y→1個

Y; 白2　黒3

袋Xの白玉である必要があるので　
白1の場合
(3C1・2C1/5C2)(1C1/7C1)=(6/(５・４/2))・(1/7)=6/70
白2
(3C2/5C2)(2C1/7C1)=(3/(5・4/2))(2/7)=(3/10)(2/7)=6/70
互いに独立だから
(6+6)/70=12/70

X白０の場合
(2C2/5C2)(2C1/7C1)=(1/(5・4/2))(2/7)=2/70
Y白2X白1の場合
(3C1・2C1/5C2)((2C1)/7C1)=(6/(5・4/2))(2/7)=12/70
Y白1X白2の場合
(3C2/5C2)((2C1)/7C1)=(3/(5・4/2))(2/7)=6/70
全て　互いに独立だから
従って
袋Ｙから取り出した玉が白玉だった条件での　それが袋Xの白玉である確率は
(6+6)/(6+6+2+12+6)=12/32=6/16=3/8

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/11/22 22:37

「袋Xから2個取りだし袋Yに入れる」を(A)

「袋Yから1個取り出す」を(B)
とすると
(A)で白2個取り出し(B)で白をとり出す確率
3P2/5P2×(4/7)=(6/20)×(4/7)=24/140 ①
(A)で白2個取り出し、(B)でXの白を取り出す確率
3P2/5P2×(2/7)=(6/20)×(2/7)=12/140 ②
(A)で白一個黒一個取り出し、(B)で白を取り出す確率
2×3×2/5P2×(3/7)=(12/20)×(3/7)=36/140 ③
(A)で白一個黒一個取り出し、(B)でxの白を取り出す確率
2×3×2/5P2×(1/7)=(12/20)×(1/7)=12/140 ④
(A)で黒2個取り出し、(B)で白を取り出す確率
2P2/5P2×(3/7)=(2/20)×(2/7)=4/140 ⑤
(A)で黒2個取り出し、(B)でxの白を取り出す確率
2P2/5P2×(0/7)=0 ⑥

ご希望の確率は
(B)でxの白を取り出す確率/(B)で白を取り出す確率
なので
(②+④+⑥/(①+③+⑤)
={(12+12+0)/140}/{(24+36+4)/140}=24/64=3/8

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/22 19:45

袋Xの白玉を金玉に変えてしまうと考えやすい。

袋Xから2個取りだしてそれを袋Ｙに入れたとき...
[1]
確率 (3C2)/(5C2) で、袋Yは白玉2個金玉２個黒玉3個になる。
この後袋Ｙから１個取り出すと、
袋Ｙから取り出した玉が白玉または金玉だという条件下に
それが金玉である確率は 2/(2+2).
[2]
確率 (3C1)(2C1)/(5C2) で、袋Yは白玉2個金玉1個黒玉4個になる。
この後袋Ｙから１個取り出すと、
袋Ｙから取り出した玉が白玉または金玉だという条件下に
それが金玉である確率は １/(2+1).
[3]
確率 (2C2)/(5C2) で、袋Yは白玉2個金玉0個黒玉５個になる。
この後袋Ｙから１個取り出すと、
袋Ｙから取り出した玉が白玉または金玉だという条件下に
それが金玉である確率は 0/(2+0).

以上を総合すると、問題の操作によって
袋Ｙから取り出した玉が白玉または金玉だという条件下に
それが金玉である確率は
((3C2)/(5C2)) (2/(2+2)) + ((3C1)(2C1)/(5C2)) (１/(2+1)) + ((2C2)/(5C2)) (0/(2+0))
= (3/10) (1/2) + (6/10) (１/3) + (1/10) 0
= 7/20.

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2023/11/22 21:27