質量の違いによる落下速度の違いについて

真空状態では、ティッシュと鉄球をそれぞれ同じ高さから落としても落下速度は変わらないと習いました。
また空気抵抗は、速度に比例するものと、速度の二乗に比例するものの２つがあるそうですが、この速度というのは落下運動の式(v=at(初速度0))で出す速度のことですか？
もしそうだとしたら、質量は空気抵抗に無関係ということでしょうか？

地球上で同じ大きさのピンポン球と鉄球を落下させたら、鉄球の方が速く落ちますよね？空気抵抗は質量にも関係あるんじゃないですか？

分かる方教えてください。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  
  f=ma
  のaの部分は地球上の落下物で言うと重力過速度gになりますよね？
  重力過速度は全ての物に対して地球上では変わらないですが、質量によって受ける力fが変わるのは分かります。でもfが大きいから加速度が大きくなると考えられる理由がわかりません。だって重力過速度は全てに対してgだし。。。
  理解力なくてすみません。。。
  
  あと、
  v=v0+at (v0:初速度)
  この式は最初の方に習いましたが、この式には質量の値が入っていません。どうしてですか？質量によって加速がつき、速度が変わるならこの式にも質量mが入るはずじゃないですか？
  この式でいうと、鉄球もピンポン球も落とした式は同じになるので、計算結果の速度も同じになりますよね？

    補足日時：2023/11/27 14:55

• 質量が入った速度の計算式などないのに、なぜ質量が重い方が加速度がつくといえるのですか？
  回答を見ると、重さが違くても大きさが同じだと空気抵抗も一緒ということですし、なにが速度に関係してるのか分からなくなってきました。
  
  頭が固くてすみません。
  こんな馬鹿にも分かるようにお願いします。

    補足日時：2023/11/27 14:56

No.11 回答者： tsumina 回答日時： 2023/11/28 12:29

疑問１

＞f=ma　のaの部分は地球上の落下物で言うと重力過速度gになりますよね？

このあたりから、順を追って理解する必要ありますね。

①まず運動方程式

f=ma は重力とは無関係です。力を加えるとモノは加速する。その比例定数は質量だよ！ってこと。重力は１ミリも出てきません。

②次に重力

重力とは、古典力学的に言えば万有引力のことです。地球の大きな質量と、対象とするモノが、お互いに引き合う万物に働く力がありますよ！！ってことですね。これ自体に運動方程式は関係ありません。

さて、地表面にて、万有引力を重力＝力として、①の運動方程式を立ててみましょう。（G万有引力定数、M地球の質量、mモノの質量、R地球の半径、モノの加速度、f モノにかかる力）

f = ma
G＊Mｍ/R^2　＝ma

a=G*M/R^2

となりますね。最終式の右辺はすべて一定なので、求めるaは一定となり、それをg（重力加速度）と呼ぶのです。つまり、

●　質量ｍの物体にはｍｇの重力がかかる

と、言い換えられます。

（参考）
実際には、下記の前提が隠れていますが。
・　地球の半径に対して、地表面からの距離は小さいので無視。
・　遠心力も無視。
・　全質量が地球の中心にあるとみなして計算。


③　空気抵抗がある場合の運動方程式　（no8 の繰り返し）

①と②を合わせれば、

質量をｍ
落下速度をｖ
落下加速度をa
速度に比例する空気抵抗の比例係数をk
つまり空気抵抗はkv

として、運動方程式を立てると、

ｆ＝　ma

ｍｇ　ー　ｋｖ　＝m a

となり、aやｖに関する方程式が得られます。

a ＝　（d/dt）v

ですから、解けば、ｖの振る舞いがわかるってことになります。これが、あなたの求める、ｖを表す式になります。

疑問２
＞v=v0+at (v0:初速度)
この式は最初の方に習いましたが、この式には質量の値が入っていません。どうしてですか？質量によって加速がつき、速度が変わるならこの式にも質量mが入るはずじゃないですか？

この式は、加速度が一定の場合に、時間とともに速度がどう変わるか？　を示した式ですね。

f = ma
a = f/m

ですから、a が一定という中に、すでに、質量や加わる力が取り込まれているってことです。

＞疑問３
この式でいうと、鉄球もピンポン球も落とした式は同じになるので、計算結果の速度も同じになりますよね？

なりませんよ。この式は、繰り返しますが加速度が一定の場合の式。加速度が一定かどうかわからないときは、使えませんね。

＞疑問４
質量が入った速度の計算式などないのに、なぜ質量が重い方が加速度がつくといえるのですか？

③の微分方程式の答えが、あなたの求める、質量が入った速度の計算式になります。もとめるものは、方程式を解いた結果です。あらかじめ考えてわかるものではありません。

＞回答を見ると、重さが違くても大きさが同じだと空気抵抗も一緒ということですし、なにが速度に関係してるのか分からなくなってきました。

順を追って式を見て、結果の式を解釈する。それしかありません。予め、複雑な事象を、頭の中だけで整理し、理解することは不可能です。そのための運動方程式であり、それを解くための微分や積分の数学テクニックです。

がんばってください。

No.12 回答者： syotao 回答日時： 2023/11/28 22:17

同じ大きさのピンポン球と鉄球でいえば短い距離での自由落下では

空気の抵抗は落下速度に比例するとしてよい。
この場合比例定数ｋは球の質量によらず一定である。
つまり、今の2球に関しては同じ抵抗比例定数が使える。
運動方程式は
ｍdv/dt＝ｍｇ－kvになるけどこれをｔ＝0でｖ＝0の条件で解くと
空気抵抗は　kv＝mg(1－ｅ^(－kt/m))
これを見ると抵抗は球の質量ｍの増加につれて増えていく。
つまりピンポン球より鉄球のほうが空気抵抗は大きい。
しかし
球に作用する重力と空気抵抗の差を見ると
mg－kv＝mgｅ^(－kt/m)となり
mが大きくなるほどｅ^(－kt/m)は1に近くなるから
mg－kvはmが大きくなるほどｍｇに近くなる。つまり
mが大きくなるほど抵抗力よりも重力mgが勝ってきて
あたかも真空の状態での落下運動に近くなる。
逆にｍが小さくればなるほどｅ^(－kt/m)は0に近くなるから
mg－kvは0つまり重力と抵抗力はつりあいの状態に近くなって
球はゆっくりと落下するようになる。
以上が重い球が軽いピンポン球より早く落ちるメカニズムです。
重力や抵抗力そのものよりより、それらの正味の差が
運動を決めるわけだから、そこを見なくちゃいけない。