高一数学 高次式 〔 チャート 99ページ 59番 〕 iを消すために二乗したもので割った余りが、な

高一数学 高次式
〔 チャート 99ページ 59番 〕

iを消すために二乗したもので割った余りが、なぜ答えに該当するのかわかりません。
なぜ二乗してよいのですか？
教えて下さると助かります(* .ˬ.)‪ෆ‪.*･ﾟ

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/27 14:39

x＝1+√2iを代入すると

x²-2x+3が0になることは理解できますか？
また、
割られる数＝割る数×商+余り
は知ってますか?

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/12/27 09:39

2乗とかはどうでもよくて、

要は、適当な2次式　S(x)　で
S(1+√(2)i) = 0 で係数が「簡単な実数」になっている
ものがあれば計算が楽できるというせこい戦術。
別にごりごり計算しても大したことありません。

S(x) は実数係数の2次式は解が複素共役になることを
使って
(x - 1 - √(2)i)(x - 1 + √(2)i) = x^2-2x+3
と直接求めても良いです。

>なぜ二乗してよいのですか？

S(1+√(2)i) = 0 となる2次式S(x)を見繕うことが目的。
そのための手段であって、そういうものが手に入れば
OKです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/27 00:51

余りは答えじゃないよ。

余りに x = 1+√2i を代入したものが答え。

x = 1+√2i から変形して x^2 - 2x + 3 = 0 が得られたってことは、
x^2 - 2x + 3 に x = 1+√2i を代入すると値が 0 になる。

ここで一旦 x = 1+√2i を離れて、多項式の割り算を考える。
P(x) を x^2 - 2x + 3 で割った商が Q(x)、余りが R(x) とすると、
P(x) = (x^2 - 2x + 3) Q(x) + R(x) が成り立っている。

この式に x = 1+√2i を代入すれば、
P(1+√2i) = 0 Q(1+√2i) + R(1+√2i) となり
P(1+√2i) = R(1+√2i) が成り立つ。

R(x) を求めてそこへ x = 1+√2i を代入するほうが
P(x) に x = 1+√2i を代入するよりも計算が楽。
ただそれだけの話。

x^2 - 2x + 3 でなくても
x = 1+√2i を代入したとき値が 0 になる式で P(x) を割ればよく、
i を消したかどうかは重要ではない。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2023/12/27 00:43

この問題は、大きく２つの方針に分けて考えた方が良いですね。

まず x = 1 + i sqrt(2) という式が与えられているのですが、これは実数と虚数が入り混じってしまっていて面倒くさいですね。複素平面において実数軸と虚数軸は直交している事から分かるように、これらは独立であるので、言ってしまえば x と y が両方ある方程式を解くようなもの。

しかし x と y が両方ある方程式と違って、複素数の便利な所は、２乗すれば実数だけにできる。これは言い換えれば x と y の 2 種類の変数があった方程式を、x だけの 1 変数の方程式にするようなもんですね。

そこで、実数と虚数が入り混じっている代わりに次数が１の方程式 x = 1 + i sqrt(2) を、式変形しながら２乗する事で、実数しか無い代わりに次数が２に増えた方程式 x^2 - 2x + 3 = 0 を作った。実数だけの関係を作る事で簡単にした。

ここまで前半部分。


後半部分は、f (x) = x^2 - 2x + 3 = 0 とするとき
P(x) = f (x) g (x) + h (x)
という関係が分かれば、f (x) = 0 なのですから P(x) = h(x) と簡単にできるわけですね。