中学数学の空間図形の問題です。 （3）がわかりません。答えは（1）72㎤（2）18√3㎠（3）√3c

中学数学の空間図形の問題です。
（3）がわかりません。答えは（1）72㎤（2）18√3㎠（3）√3cmです。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/01/07 22:50

(1) 立方体の体積から、4つの三角錐の体積を引く。

4つの三角錐はすべて同じ体積で、その１つ ABDE の体積は
　[(1/2) × 6 × 6] × 6 × (1/3) = 36
従って、求める体積は
　(6 × 6 × 6) - 36 × 4 = 72 [cm^3]

(2) １辺が 6√2 の正三角形の面積です。
従って
　(1/2) × 6√2 × [6√2 × (√3)/2]
= 18√3 [cm^3]

(3) １辺が 6√2 の正四面体に内接する球です。
球の中心を O として、4つの三角錐
　OBDE, ODEG, OEGB, OGBD
に分けて考えます。
そうすれば、4つの三角錐はすべて同じ体積であることが分かり、その１つOBDEの体積は、内接球の半径 r および (2) の結果を使って
　(1/3) × △BDE × r = (6√3)r
従って、正四面体BDEGの体積は、その4倍の
　(24√3)r
となります。

一方、この正四面体の体積は、(1) の結果から「72」なので
　(24√3)r = 72
よって
　r = √3 [cm]


この手の問題ではよくありますが、(3) を解くのにその前の (1)(2) を使います。

No.1 回答者： 中里毅 回答日時： 2024/01/07 00:26

キーワードは正四面体に内接する内接球です。

公式はV=１／３ｒS　ヴイ＝三分の一・アール・エス
Ｓ＝正四面体の表面積、Ｖ＝正四面体の体積、ｒ＝球の半径
のステップとＳ＝√３／４ａ↑２（４分のルート３・エー二乗、Ｖ＝√２／１２・ａ↑３（１２分のルート２・ａ三乗）から求めるステップです。

公式を３つ組み合わせます。