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中3数学です。写真の(3)が解けません。解法を教えてください。本当に出来ればでいいんですが、図なども添えて頂けると嬉しいです。ちなみに答えは4-2√2 秒後です。

「中3数学です。写真の(3)が解けません。」の質問画像

A 回答 (6件)

No.2 です。


下に図を添付しました。
この図の記号を使います。

IP は円Oの接線なので、接点を S として
 IP ⊥ OS
よって、△OIP, △SIO, △SOP は直角三角形で、互いに相似。

従って
 IP : OP = IO : SO = 2√2 : 2
よって
 IP = (√2)OP   ①

同様に
 OP : SP = IO : SO = 2√2 : 2
よって
 OP = (√2)SP   ②

②を①に代入すれば
 IP = 2SP
従って
 SI = SP
であることが分かり、
△OSI, △OSP は直角二等辺三角形で、△OIP も直角二等辺三角形であることが分かる。

従って
 OP = OI = 2√2
であり、
 x = 4 - 2√2
となる。
「中3数学です。写真の(3)が解けません。」の回答画像5
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他の方と同じ解き方だと面白くないので


PQIを通る平面と球の中心との距離=2
を使って解いてみます。
座標系のとり方の工夫で意外と簡単です。

球の中心を原点とする座標系を設定します。
H→E方向がx軸正方向
E→F方向がy軸正方向
E→A方向がz軸正方向

すると、Q、P、Iの座標は
(-2、-2、4-x)
(2、2、4-x)
(2、-2、0)

この3点を通る原点を通らない平面の方程式を
ax+by+cz+1=0
とすると。
3点を代入して連立方程式を解くと、簡単に解けて
a=-1/4, b=1/4, c=-1/(4-x)
となります。

この平面と原点との距離は、平面と点との距離の公式から
1/√(a^2+b^2+c^2)
だから、これを2(球の半径)としてxについて解くと

x=4±2√(2)

問題の条件から x≦6なので
x=4-2√(2)
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図はAEGCを通る断面図


PQの中点をМ
円の中心をО
面PQIと球の接点をS
としてあります。
線分IМは接線だから半径と直角
→△IОS∽△IМО
IО=2√2
ОS=2
だからIS=2
→△IОSと△IМОは直角二等辺三角形
→ОМ=IО=2√2
М及びPとQは同じ高さで
この位置に来るのは
x=4-2√2
の時
「中3数学です。写真の(3)が解けません。」の回答画像4
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四角形AEGCを通る平面で立体を切った時の断面図を書いて見ればわかるよ…


私も、時間ができたら詳しく説明したいと思いますがとりあえず
このヒントで考えてね
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(1) IPG が展開図上で一直線になるときです。



(2) IPQ を通る平面は斜めなので、それを「PQの位置を変えずに水平」にしましょう。

(3) 半径が 2 cm ということは直径は 4 cm ですから、正方形ABCDにすっぽりと入ることは分かりますね?
そのときに、BD, PQ, FH を通る方向から真横に見た図が描けますか?

その図では、AEGC を真横から見ることになるので、その断面の長方形は横の長さが 2√2 で高さが 2 になります。

そのときには P と Q は重なって同じ点に見え、△IPQ と球の接点は、P と Q とが重なった点と I を結んだ直線と球を真横から見た「円」の接点になることが分かりますか?

その図が書ければ、円に接するときの「P と Q とが重なる点」の位置が求められると思います。
自分でやってみて。
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球の中心を


O=(0,0,0)
とする
A=(2,2,4)
B=(-2,2,4)
C=(-2,-2,4)
D=(2,-2,4)
E=(2,2,-2)
F=(-2,2,-2)
G=(-2,-2,-2)
H=(2,-2,-2)
I=(2,2,0)
4>t秒後の位置は
P=(-2,2,4-t)
Q=(2,-2,4-t)

↑PI=(4,0,t-4)
↑QI=(0,4,t-4)

△IPQ平面の法線ベクトルを
(a,b,c)
とすると△IPQ平面の式は
aX+bY+cZ=d

法線と↑PIは垂直だから
((a,b,c),(4,0,t-4))=4a+c(t-4)=0
法線と↑QIは垂直だから
((a,b,c),(0,4,t-4))=4b+c(t-4)=0
a=b
4a=c(4-t)
(4a,4a,4c)=(c(4-t),c(4-t),4c)=c(4-t,4-tx,4)
だから
a=b=4-t
c=4
とすると
(4-t)X+(4-t)Y+4Z=d
(X,Y,Z)=I=(2,2,0)を通るから
2(4-t)+2(4-t)=d
4(4-t)=d

△IPQ平面の式は
(4-t)X+(4-t)Y+4Z=4(4-t)

△IPQ平面と球が接するとき
△IPQ平面と球の中心原点との距離=2だから

4|4-t|/√{2(4-t)^2+16}=2
2|4-t|=√{2(4-t)^2+16}
4(4-t)^2=2(4-t)^2+16
2(4-t)^2=(4-t)^2+8
(4-t)^2=8
(t-4+2√2)(t-4-2√2)=0
t-4-2√2<0だから

t
=
4-2√2
秒後
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