関数の連続性を調べる問題に関する質問です

この問題では、xが正の方向から0に近づくときと、xが負の方向から近づくとき、すなわち両側から調べています。
ただ、この本の別のところでは、このページのCHART&SOLUTIONのところに書かれているように、正の方向からしか考えずに解いている問題があります。
片側だけから調べるときと、両側から調べるときの違いはなんなのでしょうか？
正直混乱しています。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/01/17 17:19

>このページのCHART&SOLUTIONのところに書かれているように、

>正の方向からしか考えずに解いている問題があります。

どの記述？

lim[x→0]f(x) =f(0)
は
lim[x→+0]f(x) =lim[x→-0]f(x)=f(0)
と同じ意味になるよ。

片側だけ f(0)に収束しても、定義域が0の両側に広がっているなら
連続とは言えないです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/15 21:35

lim[x→a] f(x) を調べるときは、もともとは、

x が a へあらゆる近づき方で近づくことを考えなければなりません。
x>a になったり x<a になったりしながら、a へ近づいていってもいいんです。

ただし、x が実変数の場合、lim[x→a+0] f(x) = lim[x→a-0] f(x) が成立すれば
lim[x→a] f(x) も収束して lim[x→a] f(x) = lim[x→a+0] f(x) = lim[x→a-0] f(x)
だという強力な定理があるので、lim[x→a+0] f(x) と lim[x→a-0] f(x) だけ
調べれば事足ります。これは、実数の際立った特徴です。

質問の「この本の別のところ」では、
どのような問題をどうやって解いているのでしょう？
問題を具体的に書いてくれないと、
「正の方向からしか考えずに解いて」いいのかどうかは判断できません。
参考書の解答だって、間違っている場合もあるし...

No.1 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2024/01/15 21:29

0に+から近づく場合と-から近づく場合の値が等しい時->0と書く