次の関数の()内の定義域における最大値、最小値を求めなさい。 ➀ y=x^3-3x+4 (-2≦x≦

次の関数の()内の定義域における最大値、最小値を求めなさい。

➀ y=x^3-3x+4 (-2≦x≦1)

➁y=x^3+1/2x^2-4x-1 (-1≦x≦2)

どなたか解説お願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 2番の問題はy = x^3 + (1/2)x^2 - 4x - 1です
  分かりにくくて申し訳ないですm(_ _)m

    補足日時：2024/02/11 01:31

No.6 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2024/02/11 14:18

増減表を作って グラフの形を 見極めることが 必要です。

他の回答にあるように 極大・極小 を確かめるのは 二次微分 ですが、
この程度の式では もっと簡単に 判別できます。

この３次関数のグラフを考えます。
x³ の係数が 1>0 ですから、グラフは 第３象限の下から上がってきて、
最終的には 第１象限の上の方に 伸びていきます。
つまり 一次微分が 0 になる x の小さい方の値で 極大値に、
x の大きな値の方で 極小値になります。

① y=x³-3x+4 (-2≦x≦1) 。
　　y'=3x²-3=3(x-1)(x+1) 、y'=0 で x=±1 です。
　従って x=-1 で極大値、x=1 で極小値 になります。
　　つまり 最大値 x=-1 で y=6 、最小値 x=-2 又は x=1 で y=2 。
② も 同じような 考え方で 答えが出せます。

① で書いたように グラフの 極大値・極小値だけでなく、
x が取り得る領域の 端の値でも 吟味する必要があります。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/11 11:53

No.1&2 です。

「増減表」の作り方は理解していますか？

接線の傾きが「水平になる」つまり「極大、極小」となるための必要条件は、微分係数がゼロになることです。

①なら
　y' = 3x^2 - 3 = 0
を満たす x で「極大または極小」となり得ます。
　3x^2 - 3 = 0
→　x^2 = 1
→　x = ±1
です。

極大か極小かを判定するには、二次微分をとって
　y'' = 6x
x=1 のとき y'' = 6 > 0 なので「極小」
（接線の傾きが増加する方向だから）
x=-1 のとき y'' = -6 < 0 なので「極大」
（接線の傾きが減少する方向だから）
ということになって、増減表は

x<-1 のとき y は単調増加
x=-1 のとき y は極大、極大値は y(x=-1) = 6
-1<x<1 のとき y は単調減少
x=1 のとき y は極小、極小値は y(x=1) = 2
1<x のとき y は単調増加

となります。
この増減表からおおよそのグラフを描いて、-2≦x≦1 の最大・最小を探せばよい。

最大は明らかに「極大」の x=-1 のときで、このとき最大値 6 をとる。

最小は、定義域の端点 x=-2 か、極小の x=1 のどちらか。
　y(x=-2) = 2
ということで、どちらも最小になる。
従って、x=-2, 1 で最小値 2 をとる。

②なら
　y' = 3x^2 + x - 4 = 0
を満たす x で「極大または極小」となり得ます。
　 3x^2 + x - 4 = (3x + 4)(x - 1) = 0
より、これを満たすのは
→　x = -4/3, 1
です。

極大か極小かを判定するには、二次微分をとって
　y'' = 6x + 1
x=-4/3 のとき y'' = -7 < 0 なので「極大」
（接線の傾きが減少する方向だから）
x=1 のとき y'' = 7 > 0 なので「極小」
（接線の傾きが増加する方向だから）
ということになって、増減表は

x<-4/3 のとき y は単調増加
x=-4/3 のとき y は極大、極大値は y(x=-4/3) = 77/27
-4/3<x<1 のとき y は単調減少
x=1 のとき y は極小、極小値は y(x=1) = -7/2
1<x のとき y は単調増加

となります。
この増減表からおおよそのグラフを描いて、-1≦x≦2 の最大・最小を探せばよい。
この端点の値を調べてみれば
　y(x=-1) = 5/2
　y(x=2) = 1

最小は明らかに「極小」の x=1 のときで、このとき最小値 -7/2 をとる。

最大は、定義域に極大点が含まれないので、端点のどちらかであり、大きい方が最大になる。
従って、x=-1 のとき、最大値 5/2 をとる。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/11 05:30

増減表を作れば求まります。

①y'=3x^2-3=3(x+1)(x-1)
増|x=-1|減|x=1|増
②y'=3x^2+x^2-4=(x-1)(3x+4)
増|x=-4/3|減|x=1|増

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/11 05:30

①

-2≦x≦1
f(x)=x^3-3x+4
↓微分すると
f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)

f(-2)=(-2)^3-3(-2)+4=-8+6+4=2
-2≦x<-1のときf'(x)>0だからf(x)は増加
f(-1)=(-1)^3-3(-1)+4=-1+3+4=6
-1<x<1のときf'(x)<0だからf(x)は減少
f(1)=1^3-3*1+4=1-3+4=2
だから
x=-1のときf(x)の最大値f(-1)=6
x=-2,1のときf(x)の最小値f(-2)=f(1)=2

②
-1≦x≦2
f(x)=x^3+(1/2)x^2-4x-1
↓微分すると
f'(x)=3x^2+x-4=(3x+4)(x-1)

f(-1)=-1+(1/2)+4-1=2+1/2=5/2
-1<x<1のときf'(x)<0だからf(x)は減少
f(1)=1+1/2-4-1=1/2-4=-7/2
1<x<2のときf'(x)>0だからf(x)は増加
f(2)=8+2-8-1=1
だから
x=-1のときf(x)の最大値f(-1)=5/2
x=1のときf(x)の最小値f(1)=-7/2

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/11 01:00

No.1 です。

それから、②の式がどのようなものなのか、はっきりさせないとね。

y = x^3 + (1/2)x^2 - 4x - 1

か

y = x^3 + 1/(2x^2 - 4x - 1)

か

y = (x^3 + 1)/(2x^2 - 4x - 1)

か？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/11 00:47

増減表を作ってみれば分かる。

微分は習ったのでしょう？