長方形の分類（幾何学）

長方形と言えば、

① 正方形
② 正方形以外

の様に分類することが出来ると思うのですが、
他にも黄金比で区切って、

① 1:1.618以下　の長方形
② 1:1.618越え　の長方形

或いは、

① 1:1.617以下　の長方形
② 1:1.618　　　の長方形
③ 1:1.619以上　の長方形

で長方形の形体のタイプが変わると思っているのですが、幾何学的にはどうなのでしょうか？
特に黄金比を区切りに長方形の形体のタイプに違いは無いのでしょうか？

詳しい方がいましたらご教授お願い致します。

No.11 回答者： finalbento 回答日時： 2024/03/10 16:56

お礼コメントに一言。

定義自体はド素人でもできます。要するに「辺の比が1:◯◯の長方形の事をバランスがいいと呼びます」と決めればいいだけです。要するに「言ったもん勝ち」と言う事です。

問題となるのはあくまでも「その定義が妥当と言えるのか」と言う事です。なので「バランスがいいですか」と言う質問をするためにはどんな形であれ「バランスがいいとはどう言う状態の事か」と言う定義をする必要があります。意味が決まっていないものを答える事なんてできないので。

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/10 16:46

b=|長辺|

a=|短辺|

①正方形
②1<b/a<(1+√5)/2　の長方形
③(黄金比)b/a=(1+√5)/2　の長方形
④b/a>(1+√5)/2　の長方形
とすると

③(黄金比)のa×bの長方形にb×bの正方形を付加した(a+b)×bの長方形も③(黄金比)の長方形になる
b/a=(1+√5)/2
↓両辺にa(-1+√5)/2をかけると
b(-1+√5)/2=a
↓両辺にbを加えると
b(1+√5)/2=a+b
↓両辺をbで割ると
(1+√5)/2=(a+b)/b

②のa×bの長方形にb×bの正方形を付加した(a+b)×bの長方形は④の長方形になる
b/a<(1+√5)/2
↓両辺にa(-1+√5)/2をかけると
b(-1+√5)/2<a
↓両辺にbを加えると
b(1+√5)/2<a+b
↓両辺をbで割ると
(1+√5)/2<(a+b)/b

④のa×bの長方形にb×bの正方形を付加した(a+b)×bの長方形は②の長方形になる
b/a>(1+√5)/2
↓両辺にa(-1+√5)/2をかけると
b(-1+√5)/2>a
↓両辺にbを加えると
b(1+√5)/2>a+b
↓両辺をbで割ると
(1+√5)/2>(a+b)/b

No.9 回答者： finalbento 回答日時： 2024/03/10 15:58

「1.618が境界であると言う認識はまちがっているんですかね?」と言う質問についてですが、それが正しいか間違っているかは「境界とは何か」「何をもって境界と呼ぶのか」と言う境界の定義によります。

質問者様の根本的な勘違い(と思われるもの)は「境界とは何かは既に決まっている事柄」「その事について他の人も同じ認識をしている」と思い込んでおられる事だと思います。これは数学的な意味だけでなく美学的ないし感覚的な意味においても同じです。「1.618が最もバランスがいい」と言う主張も「バランスが良いとはどのような状態の事を指すのか」をはっきり決めないと判断のしようがありません。

要は「形が安定している」「バランスが良い」などと言ったまだ定義されていない概念をさも「既に定義されていて他の人も承知している」と勝手に決め付けておられる(&その事に気が付いておられない)点が問題であるわけです。

この回答へのお礼

はい、自分も今まで考えていて、何を持って

・安定しているか
・バランスが良いか
・美しいか
・横長か、圧縮感があるか

が不明確だから議論が平行線のままなんだろうなーって気が付きました。
ただ、これって結構難しい話で美学者でも定義するのが難しいんじゃ無いかなーと思います。

だから初心者っぽく単に「1.618を境に長方形のバランス感って変わるよね？」みたいな感じで質問させて頂きましたw

お礼日時：2024/03/10 16:28

No.8 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2024/03/10 12:36

日本間に畳を敷き詰めるためには1:2の長方形です。

半畳があると正方形が１枚必要です。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/03/10 10:15

どー分類しても勝手なんだけど、

そのように分類したどれに当てはまるかによって
あるグループについては成り立ったり
別のグループについては成り立たなかったり
する定理でそれなりに使い勝手があるもの
が存在しないと、分類に数学上の意味がなかろうよ。

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2024/03/10 02:01

ちなみに長方形の縦横の長さの比率を基準にして「1:1.41より大きいか小さいか」と言った形での分類はもちろん可能です。

ただしこの分類は「その比率にどんな意味があるんですか? きれいに見えるかどうかの違いだけじゃないんですか? それって結局あなたの個人的な感想ですよね?」となるのは目に見えているでしょう。基準の決め方がものすごく人工的で不自然なものですから、数学的な意義はないも同然です。

この回答へのお礼

そうですね。
私が言っていることは数学では無いですね。
数学では無い観点で分類してみることにします。

お礼日時：2024/03/10 02:23

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2024/03/10 01:56

ひろゆき氏の口癖(?)ではありませんが、お礼コメントに書かれたものは結局「それってあなたの感想ですよね」と言う事にしかならないのでは?

数学においては「うまく説明できない」と言った事を定義や概念として用いる事はありません。もちろん無定義用語的なものがどこかで出て来るのは仕方ない事ではあるのですが、それでも「安定しているとは何か」「バランスがいいとはどう言う状態の事を指すか」を言語化できないのであれば、それらは数学的概念とはなりませんし、もちろん数学的な意味での図形の分類の基準として用いる事はできません。

先にも少し書きましたが、質問者様がやろうとしておられる長方形の分類は、数学ではなく美学ないし芸術的な意味での分類と思われます。そして両者は明確に区別されなければなりません。

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2024/03/10 01:33

お礼コメントを読んで誰もが感じたであろうツッコミですが「うまく収まる」とはどう言う意味でしょうか? その定義は? そもそも「うまく」とはどう言う内容の概念なんでしょうか。

数学的に考えれば、質問者様が挙げられた黄金比を持つ長方形と、縦1ミリメートル、横1キロメートルと言う超絶細長の長方形とを分類する基準はどこにもありません。区別する理由が見当たらないわけですから。質問文にあった黄金比云々を基準とした分類は数学ではなく美学等における分類と考えた方がいいと思います。

この回答へのお礼

上手く説明できないんだけど、
私個人の感覚では1.618を境に長方形のタイプが違うんですよね。

お礼日時：2024/03/10 01:45

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/10 01:01

No.2 です。

＞どうなんですかね？

その根拠をあなたに聞いているんですよ。

＞1.619以上だど・・・
＞1.618以下だと・・・

いや、そうじゃなくて、「黄金比」という「比率そのもの」が大事なんですよ。「以上、以下の境界線」じゃなくて。

なお、「黄金比」以外に「白銀比」というものがあるのをご存じですか？
「1:√2」であり「A４サイズ」「Ｂ５サイズ」などの用紙の縦横比です。
↓
https://www.dolphin-through.jp/aspect-ratio/#:~: …

この回答へのお礼

1.618が境界であるという認識は間違っているんですかね？
例えば、

1.615にしたら形が安定しているなー
1.616にしても形が安定しているなー
更に大きくして
1.617にしても形が安定しているなー
1.618にしても形が安定しているなー
もう一つ大きくして
1.619にしたら横長になってバランスが悪いなー
だから1.618が最もバランスが良くて、その長方形が横長か否かの境界部分である

と言う感じで。

お礼日時：2024/03/10 01:27

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/10 00:42

「縦長」「横長」ぐらいはあるでしょうね。

「黄金比」にしても「1.2」にしても「1.3」にしても、その数値の「以上」と「以下」で何が変わるとお考えなのですか？

「境界線の数値」の前に「何の違いか」「何が違うか」の「比較する概念」と「その理由」を明確に定義しないといけないのでは？

「1000円以上のランチ」と「1000円未満のランチ」では、「値段」を論ずる前に「中身」を明確にしないと意味がないと思います。

この回答へのお礼

何か形体のタイプが違うかなーって思ってるんです。

1.619以上だど横長の長方形になる
1.618以下だと横の方が長いけど上手く収まっている長方形になる

という感じで。
どうなんですかね？

お礼日時：2024/03/10 00:53