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粉末と結晶の違いは何ですか?
錯体合成をしているのですが、得られる錯体が粉末状です。
結晶化の方法を考えているのですが、
両者の違いがいまいちよく分からないです
教えて下さい。よろしくお願いします

A 回答 (3件)

粉末と結晶の違いについては、NO.1,2の方の説明で良いと思います。


もし大きな結晶を得たいと考えているのならば、結晶化のスピードを遅くしてやることです。
再結晶であれば、溶媒に加熱溶解した後、徐々に温度を下げるとか、溶媒の蒸発スピードを遅くするなどの方法があります。
種結晶を入れるのも基本的手法です。
もしその錯体の合成時に無定形物を生成してしまうのであれば、反応速度そのものを遅くする必要があります。
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この回答へのお礼

なるほどです。
再結晶や合成の条件を変えて試してみます。
ありがとうございます

お礼日時:2005/05/26 08:23

No1 paddlerさんの回答のように粉末と結晶はまったく異なる概念です。


粉末は如何に定義されているのでしょう。Gooの国語辞典では「粉末は固体が、ひじょうに細かな粒の集まりとなっている状態」とありますが、どの程度細かいかはわかりません。学術用語では「粉末」はあまり好まれないようで「粉体」が使われ、径が1mm以下のようです。

「ふたむらの部屋」は参考になります。
http://www.biwa.ne.jp/~futamura/index.htm
粉粒体の定義と分類
http://www.biwa.ne.jp/~futamura/sub2.htm
http://www.biwa.ne.jp/~futamura/sub6.htm

結晶(Crystal)でないものは非結晶(Noncrystal)あるいは非晶質体です。
フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』などで確かめてください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%90%E6%99%B6
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E6%99%B6% …

非結晶や微細な結晶から大きな結晶を作るには多くの方法がありますが、その物質の性質によります。

下記の書籍には有機金属錯体の「結晶化」紹介もあるそうです。
有機結晶作製ハンドブック (丸善)
http://www.maruzen.co.jp/home/pub/yuuki-kesyou/y …
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この回答へのお礼

ありがとうございます。すごく参考になりました。
色々試してみることにします

お礼日時:2005/05/26 08:20

「錯体」については詳しくないのですが、一般論として、「粉末」と「結晶」は対立する概念ではないと思います。

大きさだけで「結晶」であるかないかは、決まらないのではないでしょうか?

一般に「粉末」を構成しているものとして、

(1)微細な単結晶
(2)微細な多結晶体
(3)微細な非晶質

の場合があり得ると思います。

できた「粉末」の結晶性がどの程度であるかは、ラマン分光分析やX線結晶解析など色々評価方法があると思います。

「錯体」の場合は、「この可能性しかない」ということでしたら、当てはまらないかも知れないので、その時はご容赦を。
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この回答へのお礼

なるほどです。ありがとうございます

お礼日時:2005/05/26 08:18

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Q単結晶作成法で困ってます

はじめまして。
現在、X線構造解析用の単結晶(有機化合物)を作成しようとしているのですが、どうしても『ファイバー』のような細い針状結晶しか出来上がらず、困っています。

これまでに、様々な溶媒(クロロホルム、トルエン、酢酸エチル、ジオキサン、アセトニトリル、アセトン、エタノールなど)を試したり、また手法も溶媒をゆっくり蒸発させたり、貧溶媒(ヘキサン、エーテル、メタノールなど)の蒸気をゆっくり溶かしこんだりと、いろんな手法をとってきましたが、たいていはファイバー状になってしまいます。

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このような化合物をブロック状の単結晶にすることはできるのでしょうか。あるいは、類似のケースにて溶媒を変えたら成功した、などの例をご存知の方はおりますでしょうか?

Aベストアンサー

結晶形は化合物に依存するので晶形を変えるのは難しいと思います。
針状結晶でも上手く育てればX線結晶構造解析に使えるサイズに出来ると思うので、ゆっくり出して大きくなるのを待つのが良いかなと。

参考までに私の知っている結晶の出し方を一つ挙げます。
モノに貧溶媒を少しずつ加え、ある程度加えて溶け切らなかったら、程ほどに溶ける良溶媒を少しずつ加え、完全に溶かす。
これを冷凍庫(-20℃)に入れ結晶が出るまで待つ。

基本的に少しだけ過飽和な状態でゆっくり時間をかけて出すのが良いはずです。

Q粉末X線と単結晶X線

粉末X線でも単結晶に対するX線でも結晶構造は決められるんですよね?
この二つの違いがよくわかりません。それぞれの利点と欠点、その原因を教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

通常、Bragg条件を満たすのはかなり偶然性が高くなかなか回折強度が強くなる方法が出てきません。

そのため次の二つのうちどちらかを連続的に変化させることでBragg条件を満たす回折光が得られるようにします。

1.X線の波長
2.結晶の方向

1.が単結晶について用いられるLaue法で、2.が粉末に対して用いられるDebye-Scherrer法です。

1.のLaue法は結晶の向きが簡単に決定できる利点がある。
半面、結晶の大きさがかなりものをいい、小さな結晶しかできない場合はスポットの大きさが広がる問題点がある。
また、波長が連続であるため、指数を決めることはできても面間隔がそれだけではわからない問題もある。

2.のDebye-Scherrer法は大きな単結晶は必要なく、微結晶の集まりが得られさえすれが比較的簡単に行うことができる。
単波長であるため面間隔は自動的に決められるが、指数を決めることは面倒。結晶の対称性がある程度分かっていれば決められるがその情報が1発では求められない難点がある。

要するに波長、結晶の向きが同時に決められれば問題はないのだが、その場合Bragg条件を満たすことはほとんど不可能といってよく、仕方なしにこれらの方法に頼っているのである。

通常、Bragg条件を満たすのはかなり偶然性が高くなかなか回折強度が強くなる方法が出てきません。

そのため次の二つのうちどちらかを連続的に変化させることでBragg条件を満たす回折光が得られるようにします。

1.X線の波長
2.結晶の方向

1.が単結晶について用いられるLaue法で、2.が粉末に対して用いられるDebye-Scherrer法です。

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Qヨウ素による薄層クロマトグラフィーの呈色原理

薄層クロマトグラフィーの呈色に
ヨウ素蒸気をよく使いますが、
これはどのような原理で色がつくのでしょうか?
特定の官能基と反応する他の呈色試薬と違い、
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「ほぼ全ての官能基の呈色に有効」だそうですが、
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教えて下さい。宜しくお願いします。

Aベストアンサー

#6の回答について

>Most organic compounds will absorb iodine or react with it.

ほとんどの有機化合物はヨウ素を吸収するとはどのような意味なのでしょうか?
absorb(吸収)ではなくadsorb(吸着)の誤りということはありませんか。

質問者が勘違いされるといけないので補足説明しますが、ヨウ素が有機化合物と反応した場合(例えば二重結合や活性水素との反応)は、有機ヨウ素化合物となりますので当然ヨウ素の色は無くなってしまいますので、そのことによって発色はしません。
ヨウ素によって酸化された場合も、ヨウ化物イオンとなりヨウ素の色はなくなります。
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#6の回答について

>Most organic compounds will absorb iodine or react with it.

ほとんどの有機化合物はヨウ素を吸収するとはどのような意味なのでしょうか?
absorb(吸収)ではなくadsorb(吸着)の誤りということはありませんか。

質問者が勘違いされるといけないので補足説明しますが、ヨウ素が有機化合物と反応した場合(例えば二重結合や活性水素との反応)は、有機ヨウ素化合物となりますので当然ヨウ素の色は無くなってしまいますので、そのことによって発色はしません。
ヨウ素によって酸...続きを読む

QW/V%とは?

オキシドールの成分に 過酸化水素(H2O2)2.5~3.5W/V%含有と記載されています。W/V%の意味が分かりません。W%なら重量パーセント、V%なら体積パーセントだと思いますがW/V%はどのような割合を示すのでしょうか。どなたか教えていただけないでしょうか。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

w/v%とは、weight/volume%のことで、2.5~3.5w/v%とは、100ml中に2.5~3.5gの過酸化水素が含有されているということです。
つまり、全溶液100ml中に何gの薬液が溶けているか?
ということです。
w/v%のwはg(グラム)でvは100mlです。

Q~スライム作り~ホウ砂の「粉末」と「結晶」の違い

スライムを作ろうと思い薬局でホウ砂【結晶】を50g630円で
買ったのですが
別の薬局でホウ砂【粉末】を500g700円で売ってるのを見ました。

スライムの作りのHPをみても結晶や粉末など書いていなかったので
よくわからず結晶を買ってしまったのですがスライム作れますか?

一番気になるのは値段が違いすぎることです

50g630円の【結晶】
500g700円の【粉末】

これだけ違うと言う事は何かが違うと言うことですよね
なんだか間違って買ってしまったような気が・・・。
すごく損をした気分・・・。

もしかして「結局内容は同じ」なのですか?
10倍近く値段が違いますが飽和水溶液は結晶だと10分の一で作れるとか?

化学はよくわからないので教えて下さい

Aベストアンサー

粉末はただの粉であって、結晶は粉じゃないです。
ただの粒が粉末であるのに対して、結晶は原子や分子が3次元的に規則正しく並んだものです。なので、当然高価になると思われます。

ちなみに、自分でスライムを作るだけならいいのですが、誰かに見せるなら練習しておいた方がいいですよ!
ネットを調べてもいろいろな方法が書かれているし、ホウ砂と水の割合で硬さがかなりかわってきます。

QX線回折・・・試料が粉末と固体による違い?

毎度毎度X線についてです。
イマイチ私の言ってる意味がわからないかもしれませんが、質問です。

 試料が粉末か固体かによる違いは何でしょうか?つまりですね、なぜ粉末状にするのか、ということです。固体を砕けば粉末になりますよね?固体では調べられないことが、粉末なら調べられるということなのでしょうか?
 本で調べたところ、多結晶体(粉末も)は回折が様々な方向におこるそうなのですが、それでしょうか?

Aベストアンサー

> 固体では調べられないことが、粉末なら調べられるということなのでしょうか?

上の記述で「固体」を「結晶」に替えれば、実験的な利便性という意味で、その通りと言えます。

Braggの回折条件 2d・sinθ=nλ (d:面間隔,θ:回折角,λ:波長) [*] はご存知と思います。また、一つの結晶の中には、面間隔の異なるBragg反射面が多数あり、それぞれが結晶に対すして固有の角度(面方位)をもっていることはよろしいでしょうか。

波長の決まったX線を、一つの結晶に当てることを考えて見て下さい。[*]の条件を満たすとき、そのBragg面の鏡面反射の方向に回折線が出ます。結晶中のBragg面はそれぞれ特定の方向を向いていますから、ある方向から単色X線を入れても一般に[*]は成立しません。そこで、入射X線の向きを変えながら、Bragg条件に合うθの面を拾い上げていくという操作が行われます。ただし、結晶中のBragg面は何通りもありますから、θスキャンのためには、常に入射線の鏡面反射となる方向の回折線だけを検出するようにします。これがディフラクトメータ法です。

しかし、このようなスキャンでは、結晶の置き方で決まる、ある仮定された一つの面についての回折条件(θ値)を探ることができるだけです。この結晶中の様々なBragg面の情報をそろえようと思えば、結晶の向きを僅かずつ変えながら、無数の測定を繰り返す必要が生じてしまいます。そこで考案されたのが、お尋ねの粉末法と呼ばれる手法です。結晶を粉々にすることで、全てのBragg面に対して、ディフラクトメータが検知する反射面に一致する確率を与えてしまえば、1回の測定で全ての面のθスキャンができ、結晶固有の回折線パターンが得られるというものです。(まさにコロンブスの卵!)

粉末にして向きがバラバラになっても、常に鏡面反射方向だけの回折を検出するように工夫すれば、Bragg条件の式がそのまま使えるというところがミソです。

> 固体では調べられないことが、粉末なら調べられるということなのでしょうか?

上の記述で「固体」を「結晶」に替えれば、実験的な利便性という意味で、その通りと言えます。

Braggの回折条件 2d・sinθ=nλ (d:面間隔,θ:回折角,λ:波長) [*] はご存知と思います。また、一つの結晶の中には、面間隔の異なるBragg反射面が多数あり、それぞれが結晶に対すして固有の角度(面方位)をもっていることはよろしいでしょうか。

波長の決まったX線を、一つの結晶に当てることを考えて見て下さい。[*]の条件を満た...続きを読む

Q脱イオン水、MilliQ、蒸留水 の違いを教えて下さい

こんにちは。お世話になります。

バイオ、生化学系の実験に従事しているものですが「水」について教えて下さい。

水道水、脱イオン水、MilliQ、蒸留水(二段蒸留水)、超純水の違いを教えて下さい。
お互いの関係などありましたら(○○を~すると△△になる等)教えていただけると
わかりやすいかもしれません。

また、実験内容によってはエンドトキシンを気にする実験もありますが、エンドトキシンフリーの水を使う場合はどれを選べばよいのでしょうか?
動物細胞培養用に使う場合はどの水を選べばよいのでしょうか?

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

pinokoBBさん、こんにちは。

バイオ・生化学関係に用いられる水は水道水をプレフィルターを通し、イオン交換・蒸留・逆浸透法、限外濾過などを複数回組み合わせて生成します。

プレフィルターは鉄さびや大き目のゴミを取り除くに用います。

イオン交換法は酸性・強アルカリ性の樹脂を通し、イオン化合物を除く方法でこれを行った水がイオン交換水(脱イオン水)です。水の純度の評価には比抵抗を用いますが、およそ数百kΩ・cmの水が得られます。この段階で除けるのはイオン化合物だけで有機物・微生物は除けません。

蒸留法は水を蒸留することで不純物を除く方法です。イオン交換法と組み合わせて2回蒸留することが一般的です。一般的な2次蒸留水の比抵抗は数MΩ・cmでバイオ・生化学関係には十分な純度です。動物培養細胞にも使用可能です。エンドトキシンも完全にフリーとまではいかないけれどもある程度の除去はできています。蒸留法は多くの不純物を除去可能ですが100度付近の沸点を持つ物質は除けません。

逆浸透法は半透膜に圧力をかけて精製する方法です。

限外濾過法は限外濾過膜を通す方法です。孔径は半透膜が数十nmに対し、限外濾過膜は数nmです。それゆえ、数kDa以上の分子であれば、限外濾過法で除けますので、エンドトキシンやRNaseなども除去できます。本当にエンドトキシンフリーな水が必要でしたら限外濾過法を行った水が必須です。ただ、普通のCOSとかHEKとかの動物細胞培養でしたら2次蒸留水でも十分です。蛍光検出用のマイクロアレイなんかは限外濾過水が必須なようです。

超純水は十数MΩ・cmの水のことです。MilliQはミリポア社の超純水装置を用いて作った水で比抵抗は15MΩ・cm以上と高純度の水です。MilliQに関してはイオン交換樹脂を通し、逆浸透法、限外濾過法を用いて精製しているようです。

>また、実験内容によってはエンドトキシンを気にする実験もありますが、エンドトキシンフリーの水を使う場合はどれを選べばよいのでしょうか?
これに関しては上で書いたように限外濾過膜で精製した水です。MilliQが当てはまるでしょう。(超純水も一般的には限外濾過をしているのでこれも当てはまりますかね。)

>動物細胞培養用に使う場合はどの水を選べばよいのでしょうか?
これは、2次蒸留水以上の純度があれば十分です。2次蒸留水、MilliQ水、超純水が使用できます。

ただ、水関係の装置は日頃のメンテナンスが重要でイオン交換樹脂とか水を貯めるタンク、蛇口に汚染がないかは確認する必要があります。

実験書には必ずはじめのほうに書いてあることですので、pinokoBBさん自身でなにか実験書をご参照ください。

pinokoBBさん、こんにちは。

バイオ・生化学関係に用いられる水は水道水をプレフィルターを通し、イオン交換・蒸留・逆浸透法、限外濾過などを複数回組み合わせて生成します。

プレフィルターは鉄さびや大き目のゴミを取り除くに用います。

イオン交換法は酸性・強アルカリ性の樹脂を通し、イオン化合物を除く方法でこれを行った水がイオン交換水(脱イオン水)です。水の純度の評価には比抵抗を用いますが、およそ数百kΩ・cmの水が得られます。この段階で除けるのはイオン化合物だけで有機物・微生物は...続きを読む

Q再結晶化を繰り返すとなぜ純度が上がるのか

以前質問したところ曖昧だとご指摘いただいたのでまた、書かせてもらいます。アセトアニリドを作ったのですが、純粋な結晶を得るために粗結晶に水を加え加熱して溶解させ、熱いうちに濾過させました。その操作を繰り返しましたが、何故そうする事によって純度が上がるのか疑問を持つのです。

Aベストアンサー

 結晶化時に不純物が混ざるのは何故かを考えてみると,大きく2つの理由が考えられます。1つは「不純物も結晶化するから」であり,もう1つは「目的化合物の結晶に不純物分子が混ざり込むから」です。

 まず前者の場合を考えます。この場合,再結晶で不純物が除かれるのは,目的化合物と不純物との間に溶解度の差があるから,又は,目的化合物と不純物の量が異なるからです。

【目的化合物と不純物との間に溶解度の差がある場合】

 今例として再結晶に使用する溶媒に目的化合物は10gしか溶けず,不純物は50g溶けるとします。そして,両者80gづつの混合物を再結晶するとします。

 1回目の再結晶で,目的化合物は80g中の10gが溶け,残りの70gが結晶になります。一方,不純物は80g中の50gが溶け,30gが結晶になります。

 2回目では,目的化合物は70g中10gが溶けて60gが結晶になります。不純物は30gしかありませんから,全部溶けてしまい結晶にはなりません。つまり,2回目の再結晶で得られる結晶は目的化合物だけを含む事になります。

【目的化合物と不純物の量が異なる場合】

 簡単のため,目的化合物と不純物ともに20g溶けるとします。今,目的化合物70gと不純物30gの混合物を再結晶した場合を考えます。

 1回目の再結晶で目的化合物と不純物それぞれ20gが溶け,結晶になるのは目的化合物50gと不純物10gです。

 2回目の再結晶では,目的化合物は20gが溶けて30gが結晶になります。一方,不純物は10gすべてが溶けて結晶にはなりません。結果,2回目の再結晶で得られる結晶は目的化合物だけを含む事になります。

 かなり簡単に,また極端な例で示しましたが,基本的にはこの両者が元になって再結晶で化合物の精製ができます。

 次に,「目的化合物の結晶に不純物分子が混ざり込む場合」ですが,この場合,どの程度不純物が混ざり込むかは不純物の濃度に依存すると考えられます。濃度が高い程,混ざり込み易いのは分かると思います。

 上記の様に,再結晶を繰り返すと不純物の濃度は低下しますので,目的化合物の結晶に混ざり込む可能性も低下していきます。結果,再結晶を繰り返すと,目的化合物の純度が上がっていきます。

 いかがでしょうか。

 結晶化時に不純物が混ざるのは何故かを考えてみると,大きく2つの理由が考えられます。1つは「不純物も結晶化するから」であり,もう1つは「目的化合物の結晶に不純物分子が混ざり込むから」です。

 まず前者の場合を考えます。この場合,再結晶で不純物が除かれるのは,目的化合物と不純物との間に溶解度の差があるから,又は,目的化合物と不純物の量が異なるからです。

【目的化合物と不純物との間に溶解度の差がある場合】

 今例として再結晶に使用する溶媒に目的化合物は10gしか溶けず,...続きを読む

Qエクセル STDEVとSTDEVPの違い

エクセルの統計関数で標準偏差を求める時、STDEVとSTDEVPがあります。両者の違いが良くわかりません。
宜しかったら、恐縮ですが、以下の具体例で、『噛み砕いて』教えて下さい。
(例)
セルA1~A13に1~13の数字を入力、平均値=7、STDEVでは3.89444、STDEVPでは3.741657となります。
また、平均値7と各数字の差を取り、それを2乗し、総和を取る(182)、これをデータの個数13で割る(14)、この平方根を取ると3.741657となります。
では、STDEVとSTDEVPの違いは何なのでしょうか?統計のことは疎く、お手数ですが、サルにもわかるようご教授頂きたく、お願い致します。

Aベストアンサー

データが母集団そのものからとったか、標本データかで違います。また母集団そのものだったとしても(例えばクラス全員というような)、その背景にさらならる母集団(例えば学年全体)を想定して比較するような時もありますので、その場合は標本となります。
で標本データの時はSTDEVを使って、母集団の時はSTDEVPをつかうことになります。
公式の違いは分母がn-1(STDEV)かn(STDEVP)かの違いしかありません。まぁ感覚的に理解するなら、分母がn-1になるということはそれだけ結果が大きくなるわけで、つまりそれだけのりしろを多くもって推測に当たるというようなことになります。
AとBの違いがあるかないかという推測をする時、通常は標本同士の検証になるわけですので、偏差を余裕をもってわざとちょっと大きめに見るということで、それだけ確証の度合いを上げるというわけです。

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
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