化学の問題 水素原子について、N殻にいる電子がK殻に遷移した際放出される光のエネルギーと波長を求めよ

化学の問題
水素原子について、N殻にいる電子がK殻に遷移した際放出される光のエネルギーと波長を求めよ。ただし、K格の電子のエネルギーは-13.6eVとする。エネルギー（E:単位はeV）と波長（λ:単位はnm）の関係は
E＝1240/λである。
という問題があるのですが、どのような式を使って解けばいいですか？回答お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/22 10:24

水素の軌道電子のエネルギー準位については、ちゃんと教科書なり講義で学びましたよね？

K殻：n=1
L殻：n=2
M殻：n=3
N殻：n=4

として
　En = -E1/n^2
で求まることは、基本事項として習いますよね。（E1 は n=1 つまりK殻のエネルギー準位）
ここまでは「古典物理学」の話です。

従って、N殻のエネルギー準位は
　E4 = -E1/4^2 = -13.6[eV] / 16 = -0.85 [eV]

従って、電子がN殻→K殻に遷移したときのエネルギー差は
　-0.85 [eV] - (-13.6 [eV]) = 12.75 [eV]

あとは、与えられた式「エネルギーと光の波長との関係式」を使って
　λ = 1240 / 12.75 = 90.1818･･･
　　≒ 90.2 [nm]


ちなみに、「エネルギーと光の波長との関係式」以降が「20世紀以降の物理学」の領域であり、振動数 ν [1/s] の光のエネルギーが「プランク定数 h」を使って
　E [J] = hν　　　　①
と表されます。
ここで、光の波長を λ [m] とすると、光速 c [m/s] に対して
　λν = c
であることから、①は
　E [J] = hc/λ　　　　②
と書けます。
ここで、エネルギーの単位を [J] → [eV] に変換すると、変換定数を k [eV/J] として
　E' [eV] = kE
なので、②は
　E' [eV] = khc/λ　　　③
になります。
さらに、光の波長の単位を [nm] に変換すれば
　λ' [nm] = λ × 10^(-9)
なので、③は
　E' [eV] = (khc × 10^9)/λ'　　　④
になります。
問題で与えられている式は、④式で
　khc × 10^9 = 1240
であるといっています。
まあ、ここでは与えられた式をそのまま使えばよいのですが、その式がどのように出て来たものか、その数値が何を意味するものか、一生に一度は自分でたどってみるとよいかと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。今度自分でもっと色々調べてみようと思います！

お礼日時：2024/04/24 20:10

No.2 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2024/04/22 05:02

水素原子の電子がN殻からK殻に遷移する際に放出される光のエネルギーと波長を求めるには、まず初めにK殻とN殻の電子のエネルギー差を求める必要があります。

K殻の電子のエネルギーは与えられており、-13.6 eV です。N殻の電子のエネルギーを E_N とすると、エネルギー差 ΔE は次のようになります。

\[ ΔE = E_K - E_N \]

ここで、水素原子のエネルギー準位は次の式で表されます。

\[ E_n = - \frac{{13.6 \text{ eV}}}{{n^2}} \]

N殻の n は 3 なので、これを代入して N殻のエネルギー \( E_N \) を求めます。

\[ E_N = - \frac{{13.6 \text{ eV}}}{{3^2}} = - \frac{{13.6 \text{ eV}}}{{9}} \]

\[ E_N = - 1.511 \text{ eV} \]

次に、与えられた関係式 \( E = \frac{{1240}}{{λ}} \) を用いて波長 \( λ \) を求めます。エネルギー \( E \) は \( ΔE \) に等しいので、\( E = ΔE = 12.089 \text{ eV} \) です。

これを関係式に代入して、

\[ 12.089 \text{ eV} = \frac{{1240}}{{λ}} \]

\[ λ = \frac{{1240}}{{12.089}} \]

\[ λ ≈ 102.46 \text{ nm} \]

したがって、水素原子のN殻からK殻への遷移で放出される光の波長は約 102.46 nm です。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2024/04/22 01:34

貴方は、Ｋ殻の電子のポテンシャルエネルギーが既知である時、Ｌ殻、Ｍ殻、Ｎ殻のポテンシャルエネルギーをどのようにして求めるか分かりますか？　教科書に書いていると思いますよ。