積み立てでどう増えるのか

（イ）1万円の元本を年利率1％で複利運用したとき
元利合計=元本× (1+年利率)^ｎ
の式から、例えば5年後は　10510円となることはわかります。
では、
（ロ）毎月1万円を積み立てしながら複利運用したとき
例えば5年後は、615503円となるらしいのですがそれがわかりません。
どういった計算式でしょうか。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 10000x(1+0.01)x((1+0.01)^60-1))/0.01
  =10000x1.01x(1.01^60-1)/0.01
  =10000x1.01x(1.816696699-1)/0.01
  =1010000x(1.816696699-1)
  =1010000x0.816696699
  =824863.66599
  ≒824864
  となって、615503 は間違っているということでしょうか。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/05/09 09:21

• G60=a(r^n-1)/(r-1) とします。
  a=10000xr^1=10000r でいいですか？
  いいとすると、
  r=1+0.01/12=12/12+0.01/12=12.01/12≒1.00083
  なので、
  a=10008.3
  n=60 のときの G60 は、
  G60=10008.3(1.00083^60-1)/1.00083
  =10000(1.00083^60-1)
  =510.39
  となって、615503 とずいぶん離れましたが・・

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/05/09 09:32

No.3 ベストアンサー 回答者： tantanm 回答日時： 2024/05/12 20:33

No.2 の回答者です

補足コメントの計算が 間違っているようです．
> G60=10008.3(1.00083^60-1)/1.00083
上の式の 分母は /1.00083ではなくて，
(r-1) ですので， /０.00083 です

計算すると，
615439.9 になりました （r=1.00083 なので ）

r=1.00083333 で計算すると 615502.9 になります

この回答へのお礼

1.00083^60=1.05104 なので
G60=1.00083x0.05104/0.00083=615450.159
50円ほど違うのが気にはなりますが・・まあいいでしょうか。
ありがとうございました。

お礼日時：2024/05/14 15:48

No.2 回答者： tantanm 回答日時： 2024/05/07 22:04

等比数列の和 ですね，高校の数学（大学入試）の問題でしょうか

毎月の積立なので，利率も月あたり（ 0.01/12）にします
なので，１ヶ月後には [1 + 0.01/12 ] 倍，これを公比 r とします


はじめに積み立てた１万円は，その後 60ヶ月の複利運用なので，
10000×r^60 = 10000×(1+月利率)^60

その次の月に追加した１万円は，その後 59ヶ月の複利運用なので，
10000×r^59

そのまた次の月に追加した１万円は，その後 58ヶ月の複利運用
・・・・・・
これを60か月続けて，60回目は
10000×r^1

求めたい金額は，上記の60回の入金分を 全て足し合わせたもの．
順番を変えると，10000×r^1 ＋ 10000×r^2 ＋ ・・・10000×r^60

これは 等比級数の和の公式で求められます
a(r^n -1)/(r-1)
ここで初項a = 10000×r^1
公比ｒ= 1 + 0.01/12
項数 n = 60

です．

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/05/07 22:01

積立額×(1＋利回り)×{(1＋利回り)^期数−1}÷利回り

5年なら、月の利回りは(1/12)%=0.000833333・・・
期数は60を代入します。