a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca を因数分解せよ

何卒宜しくお願い致します

私の考察を書き出してみました

ご指導ご鞭撻のほどよろしくお願いします

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以下答案

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No.5 回答者： syotao 回答日時： 2024/07/11 16:25

一つ思いついたので...。

条件式が一次因数の積に分解されるとすれば
a＋pb＋qcのような因数を持つが
bとcを入れ替えてももとの式は変わらないから
もとの式はa＋qb＋pcという因数も持たなければならない。
もとの式は2次式であるから求める因数分解は（a＋pb＋qc)(a＋qb＋pc)
という形になる。これを展開して係数を比較すれば
p＋q＝-1、pq＝1つまりｐ、qは方程式t^2＋t＋1＝0の解である。
ｐを2つの解のうちの1つω＝(-1-√3ｉ)/2とすれば
ω^2＋ω＋1＝0よりω^3＝-ω^2-ω＝1したがって
ｑ＝1/ｐ＝1/ω＝ω^2となり
因数分解は(ａ＋ωb＋ω^2ｃ)(a＋ω^2ｂ＋ωｃ)　になる。
これをω^3＝1、ω＋ω^2＝-1、ω^2＋ω^4＝ω^2＋ω＝-1
に注意して展開すればもとの式が出るので
求める因数分解は(ａ＋ωb＋ω^2ｃ)(a＋ω^2ｂ＋ωｃ)　になります。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2024/07/09 19:12

あなたのやり方もすごいけど、その本質を突いている

No.3さんもすごい。
ぼくのやり方もあげようと思ったけど
お二方と比べて見劣りするのでやめた笑

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/09 10:37

あってる

No.2 回答者： Charlie0024 回答日時： 2024/07/09 08:25

回答ではありませんが。

因数分解をどこまで拡張するか、ということで複素数まで
拡張するのはアリかと思うけど、積ではなく和で表しているのは
因数分解と呼ぶのでしょうか。

No.1 回答者： nantokanaru 回答日時： 2024/07/09 07:13

質問をする前にchatGPTを使ってみると、

正解を出してくれることが多いですよ。