中心極限定理の証明の冒頭部分です。 洋書を写したものなのですが、ペンで書いてある部分が分かりません。

中心極限定理の証明の冒頭部分です。
洋書を写したものなのですが、ペンで書いてある部分が分かりません。。(日本語は理解してます。)
モーメント母関数は必要条件ではないのに存在することにしてしまって良いのでしょうか？
また、青で書いてある通り、
(Sn-nμ)/n√σ は標準化されてる為、平均0,分散1になると予想がつくのですが、なぜXnも成り立つのでしょうか？Xnの平均はμ、分散はσ²ではないのですか？？初歩的なことで躓いてしまい申し訳ございません。。

No.1 回答者： qas2021 回答日時： 2024/07/30 18:58

ご指摘の通り、モーメント母関数が存在は必要ないのですが、そう仮定すると特性関数を使う必要があります。

複素関数を扱いたくないので、モーメント母関数の存在を仮定したのでしょう。

もう一つの疑問については、(X_n - μ)/σ と変換し、これを改めて X_n と定義すれば、平均が0、分散が1の確率変数になります。
逆変換もできるので、一般性を失うことなく、X_n は平均が0、分散が1として議論しても問題ないのです。