ベクトル解析の質問です。ベクトルA,B,Cとします。 A×B=B×C=C×Aが成り立つとき，A+B+

ベクトル解析の質問です。ベクトルA,B,Cとします。
A×B=B×C=C×Aが成り立つとき，A+B+C=0は成り立つかどうか。
という問題が分からないです。よろしくお願いします

No.6 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2024/07/25 16:12

A,B,Cのうちどれか2つが平行でない場合は

なりたちます：
たとえばB,Cが平行でない場合
B×(A+B+C)＝－A×B＋B×C＝0
C×(A+B+C)＝C×A－B×C＝0
これはA+B+CがB,C両方に平行ということだから
A+B+C＝0　です。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/25 15:54

> A×B=B×C=C×Aが成り立つとき

A×B=B×C=C×A≠0なら
A, B, C の開始点を座標上の原点 O(=(0. 0. 0)) とし
A, B, C の終点を P, Q, R と呼ぶことにすると
P, Q, R, O は同一平面上になる。
#A, B, C は一つのベクトルに垂直だから
また三角形 PQO, QRO, RPO の面積は同じになるから(外積が同じだから)
Oは三角形PQRの重心になります(三角形の重心の性質)。

従って、A×B=B×C=C×A≠0なら なら (A+B+C)/3=O(=(0. 0. 0))
ですね。

A×B=B×C=C×A=0 なら、A,　B, C が平行でありさえすれば
良いので A+B+C=0 である必要はなくなります。これが
反例になります。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/25 08:12

A×B = B×C = C×A が成り立っていると、

A×(A+B+C) = A×A + A×B + A×C = 0 + A×B + (ーC×A) = 0 が成り立ちます。
B×(A+B+C) = 0，
C×(A+B+C) = 0 も同様です。
それでいて A+B+C = 0 が成り立たたない例があるか？というと...
A+B+C が、A,B,C 全てに垂直な方向であればよいわけですね。
そのためには、A,B,C が張る部分空間に補空間があればよい。
反例はある ということになります。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/24 20:09

A=(1,0,0)

B=(0,0,0)
C=(0,0,0)
のとき

A×B=(0,0,0)
B×C=(0,0,0)
C×A=(0,0,0)

A+B+C=(1,0,0)≠0

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/07/24 19:39

成り立たない。

A≠0 とする。A=B=Cのとき

A×B=B×C=C×A=0 が成り立つが
A+B+C=3A≠0

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/24 19:37

常に成り立つとは言えない

例、
A×B＝B×C＝C×Aとなるケースの一つは
A＝2B＝4C
これだとA+B+C≠0