整式 P(x)を(x-1)²で割ったときの余りが4x-5で，x+2で割ったときの余りが 一4である。

整式 P(x)を(x-1)²で割ったときの余りが4x-5で，x+2で割ったときの余りが 一4である。
P(x)=(x+2)B(x)-4・・・②
P(x)を(x-1)²(x+2)で割ったときの余りを求めよ。

画像はその解答です。
赤線を引いたところなんですけど、なぜ
a(x-1)²を足すのか分かりません。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/22 14:25

いや、巧妙なギミックと見るより、むしろ

No.4 のような素直な考え方と受け取ったほうが、見通しが良いかと。
導かれる式は、途中計算も含めて同じだし。

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2024/07/22 11:44

基本から考えたらわかるでしょう

(x-1)^2 の余りが　4x-5 で　　2次式→1次式の余り
(x+2) の余りが　－４　で　　　１次式→定数項の余り
よって

(x-1)^2 (x+2) の余りは　　　３次式→2次式の余りが必要だし
(x-1)^2 の余りが　4x-5 であることから

P(x)=(x-1)^2 {(x+2)Q(x)+a}+4x+5
という式が定義できる
　2つの直線の合成によく使う　kf(x)+g(x) を定義するやり方に似ているが
こんな方法もあるのかと考えた人関心しますね！


P(x)=(x-1)^2 h(x)+4x -5 ........................(1)
=(x+2) j(x) -4 .........................(2)
=(x-1)^2 (x+2) k(x) +bx^2 +cx+d .........(3)
とおける　
(1)を微分して
P'(x)=2(x-1) h(x)+(x-1)^2 h'(x) +4
また　(3)から
=2(x-1)(x+2) k(x)+(x-1)^2 (x+2)' k(x) +(x-1)^2 (x+2) k'(x)+2bx+c
因数定理から
P(1)= -1=b+c+d
P(-2)= -4=4b-2c+d
∴P(1)-P(-2)= -3b+3c =3
∴c=1+b
-1=b+(1+b)+d=1+2b+d
-4=4b-2(1+b)+d=2b+d-2
∴2b+d= -2
また
P'(1)=2b+c =4
∴d-c= -6 ∴d=c-6=b+1-6=b-5
従って
-1=b+(1+b)+(b-5) ∴３b=３　　　
∴b=1 c=1+b=2 d=b-5=1-5= -4 なので
求める余り=x^2 +2x -4

上の解法と比べてもらうと
{(x+2)Q(x)+a}= h(x)
に対応しています！

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/22 10:10

画像の通り

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/22 02:02

最終的に P(x) を (x-1)²(x+2) で割ったときの余りを求めるのだから、

とりあえず P(x) = (x-1)²(x+2)Q(x) + R(x) と置いてみましょう。
Q(x) は整式、 R(x) は 3次未満の整式です。
ここに、 P(x) を (x-1)² で割ったときの余りが 4x-5 で，
x+2 で割ったときの余りが -4 という情報を盛り込むと、

R(x) は (x-1)² で割ったときの余りが 4x-5 で，
x+2 で割ったときの余りが -4 になる 2次以下の整式ということになります。
R(x) = Ax² + Bx + C と置いて計算しても答えは出ますが、
R(x) = A(x-1)² + B(x-1) + C と置いたほうが少し手間が減ります。　←[1]

(x-1)² で割った余りを考えると
B(x-1) + C と 4x-5 が整式として等しいので、
係数比較から B = 4, -B + C = -5 より C = -1.　←[2]
x+2 で割ったとき剰余定理から
-4 = R(-2) = A(-2-1)² + 4(-2-1) - 1 = 9A -13 より A = 1.

質問の ⑦ は [2] を [1] へ代入した式です。
「a(x-1)² を足す」とかいう話ではないです。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/21 21:54

訂正

x-2
でなくて
x+2

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/21 21:51

P＝q(x)・(x-1)²+(4x-5)…(あ)

のqの部分を変形します
q(x)をx-2で割った時の商をQ(x)
あまりをa(一次式で割っているから、あまりは定数)
とすると
q(x)＝Q(x)(x-2)+a…(い)
(い)を(あ)へ代入
P＝{Q(x-2)+a}(x-1)²+(4x-5)
＝Q(x-2)(x-1)²+a(x-1)²+(4x-5)

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/07/21 21:01

そこの画像の赤線の a(x-1)^2 がないと,

P(x) を 3次式 (x-1)^2(x+2) で割った余りが 4x-5
という意味になるよね.

どうしてそうなるといえる?