これの(3)はどういった発想で解いているのでしょうか、はじめだしの絶対値an＜=1を示すといったとこ

これの(3)はどういった発想で解いているのでしょうか、はじめだしの絶対値an＜=1を示すといったところからよくわかりません。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/19 10:10

a(1)=c=√2

P(n)=[|a(n+1)|≦1/n]
とすると
P(1)=[|a(2)|=1/1]は真
ある自然数n≧2に対してP(n-1)が真と仮定すると
|a(n)|≦1/(n-1)≦1
0≦|a(n)|^2≦1
0≦1-|a(n)|^2≦1
だから
|a(n+1)|=|1-|a(n)|^2|/n≦1/n
だから
P(n)=[|a(n+1)|≦1/n]
も真だから
すべての自然数nに対してP(n)が真だから
すべての自然数nに対して
|a(n+1)|≦1/n
だから
すべての自然数n≧2に対して
|a(n)|≦1/(n-1)
∴
lim[n→∞]|a(n)|=lim[n→∞]1/(n-1)=0

No.5 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2024/08/19 07:44

たしかに…。

|a[k]|≦1/(k-1)
⇒|a[k+1]|=|1-a[k]^2|/k≦1/k
で何がいかんのだ？
わざわざ|a[n]|≦1を経由する意味は…？

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/08/19 05:21

例示を幾つか作ってみると、ゼロに収束しそうなのは直ぐ解ります。

とすると、漸化式の分母は増えてゆくから、漸化式の分子に上限/下限があるのでは？
という予想を思い付くのはそう突飛な発想では無いと思います。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/19 00:58

その ｜a(n)｜ ≦ 1/(n-1) を

a(n+1) = { a(n)^2 - 1 }/n と ｜a(n)｜ ≦ 1 から導いてる
んじゃないの？

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/08/18 22:44

これはおバカ回答です。

別に
　|a[n]|≦1
なんて示さなくてもよいのです。(3)の回答が最後までないのでどんな
論理か知らないが。

　|a[n]|≦1/(n-1) (n≧2)
を示せばよいだけです。すると問題の　a[n] → 0　が導けます。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/18 22:39

まず最初に考えるのは、lim[n→∞] a(n) が収束すると仮定して = L と置くと、

a(n+1) = { a(n)^2 - 1 }/n の両辺の lim をとって
L = lim[n→∞] { a(n)^2 - 1 }/n. 右辺の分子は有限値へ収束するから　←[＊]
分母の →∞ が効いて L = 0 だな... ということ。

こうして極限値のアタリをとっておいて、
漸化式が簡単なものなら、この後 b(n) = a(n) - L と置いて
lim[n→∞] b(n) = 0 になることを計算で示してゆく流れだが...
今回の漸化式は、そんなにヤワじゃない。

そこで、[＊] の考えを直接計算に乗せようと考えてみると、
lim[n→∞] { a(n)^2 - 1 } は収束まで言わなくても
a(n)^2 - 1 が有界(無限大発散しないこと)であれば L = 0 が導ける。
｜a(n)^2 - 1｜ ≦ C となる定数 C の存在を言えばよいが、
C = 1 でいけることにたまたま気付いちゃったよ... というのが、写真の解法。
気付いてしまえば、｜a(n)^2 - 1｜ ≦ １ を数学的帰納法で示すのは
写真にあるように難しくない。

どうやって C = 1 に気づくか... は、何とも言えないな。
それを「センス」や「ひらめき」と呼ぶ人も、「長年のカン」と呼ぶ人もいるでしょ。