水溶液の希釈。なぜこれで解ける？→「濃度X%の水溶液を濃度y%まで希釈するにはX÷Y倍にすればよい」

Question

以前、下記の質問をしました。
Q　25%の焼酎をどれだけ薄めたら9%のアルコールドリンクになるか？
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13879817.html

ある回答
25％ が 9％ になるのですから、
25÷9≒2.778 で 約 2.78倍に 薄めれば 良いことになります。

＊＊＊

すごく単純な方法で解いていますが、なぜこれが成り立つのかよく分かりません。
詳しい方、教えて下さい。

なお、元の質問で「アルコール濃度が・・・」としていますが、この質問だと
「アルコールが水に溶ける分はどのように考えるつもりなのか？」
という指摘をされる方が多いので、今回の質問は
「濃度25%の塩水を、濃度9%までに薄めるには、元の塩水が何倍になるまで水を加えればよいか？」
という問いとさせていただきます。

yhr2 · Accepted Answer

濃度の定義は

(溶けている量 a)/(A の全体の量) = A %

ですから、それが B % なら

(溶けている量 b)/(B の全体の量) = B %

です。

ここで、「薄める」ので「溶けている量 a」と「溶けている量 b」が同じであれば、a=b なので

B [%] /A [%] 
= [(溶けている量 b)/(B の全体の量)] / [(溶けている量 a)/(A の全体の量)]
= (A の全体の量)/(B の全体の量)

つまり「全体の量の逆比倍」に薄めればよいです。

「25% を 9% に」であれば、その逆比の「25/9 倍」にすればよいのです。

sorewasennsei · Answer

節度ある適度な飲酒量とは、純アルコールで一日に平均して約20g程度とされているので濃度計算について勉強してください。
アルコール濃度は体積パーセント(%(v/v))で示されます。純アルコール量は、グラム(g)で表されます。25%の酒の中100mLに含まれている純アルコール量は、アルコールの比重約0.8を考慮して、以下のように計算します。
100(mL) × 0.25 × 0.8 = 20(g)
「酒の量(mL) × 度数または% / 100 × 比重 = 純アルコール量(g)」
これに対し9％の酒がアルコール20gを含むとするとその体積x(mL)は、
x(mL)×0.09×0.8=20(g)
から
x/100=0.25/0.09
x=277.8(mL)
です。アルコール水の密度を無視すると薄めるために加える水の量は
x-100=177.8(mL)
または
0.25÷0.09
倍になる水を加えます。ざっと3倍です。
アルコール水の密度を無視しないと
25%濃度のアルコール水の密度0.97011(g/mL)から
100(mL)×0.97011(g/mL)≒97.01(g)
9％濃度のアルコール水の密度0.98691(g/mL)から
277.8(mL)×0.98691(g/mL)≒274.16(g)
274.16(g)-97.01(g)=177.15(g)=>177.15(mL)この程度
断っておきますが9%に薄めた酒を全部飲み干すと1日分のアルコールを飲んだことになります。

tknakamuri · Answer

>重量%であっても、容量%であってもやり方は全く同じですよ～。

いえ違います。水とアルコールを混ぜると体積が減ることを考慮に入れないといけない。

混ぜる「前」のアルコールの体積/アルコールと水を混ぜた「後」の体積×100=アルコ―ルの%濃度(度数)

これは事前に実験したデータ(水とアルコ―ルの比と体積の減少率の関係)がないと求まりません。

ssawatake · Answer

重量%であっても、容量%であってもやり方は全く同じですよ～。

EZWAY · Answer

大雑把で良いのなら話は別ですが、正確に考えるのであれば、まず、体積で考えるのか質量で考えるのかをはっきりさせる必要があります。体積で考える場合には、個々の成分の体積の合計が混合物の体積とは一致しないので正確な議論は困難です。
その一方で、すべてを質量で考えるのであれば話は簡単です。複数のものを混ぜた時、その質量は各成分の質量の合計になるからです。

食塩水の場合であれば常識的に考えて、%というのは質量のことでしょうから、正確な議論は可能です。基本的な考え方は小学校の算数で出てくるように、食塩の質量を計算するところから始めることになります。
仮に、25%食塩水が100 g（100 mLではない）あるなら、食塩は25g含まれています。それの濃度を9%にしたいのであれば、その「25 g」が「全体の質量の9%になる」ようにすれば良いことになるので、全体の質量が(25/0.09)gになるようにすれば良いことになります。つまり、加える水の量は食塩水100gあたり、(25/0.09) -100=約178 (g)ということになります。
なお、25%の食塩水と9%の食塩水の両方の密度が正確にわからない限り、「元の塩水が何倍になるまで水を加えればよいか？」という問に正確に答えることはできません。たとえば、25%食塩水100 gの体積は85mL程度しかありません。

tknakamuri · Answer

>「濃度25%の塩水を、濃度9%までに薄めるには、
>元の塩水が何倍になるまで水を加えればよいか？」

肝心の「濃度」の定義が不明です。

塩水の濃度は通常重量%ですが、酒税法でのアルコール濃度は
容量%です。

どっち？

ssawatake · Answer

中学校でやる食塩水の濃度問題と全く同じ。
25%時の全体量1として、水を加えて元のm倍になったとします。

薄めても、アルコール自体の量は変わらないので、

1×0.25＝m×0.09
これを解くと、m=0.25/0.09=25/9≒2.78

fine_day · Answer

感覚的にわかりやすい数字で考えてみます。
10％の食塩水を1％にするにはどれぐらい水を足せばよいでしょう？
「10倍に薄めればよい」とすぐわかると思います。
5%を1%にするなら５倍、2%を1%にするなら２倍です。
また、10％を5%にするなら２倍です。

少数で考えるとややこしいように思いますが、計算式は同じで
　元の濃度÷目的の濃度＝薄める倍数
となります。
よって25%を9%にするなら　25÷9≒2.778　より2.78倍、と求められます。

水溶液の希釈。なぜこれで解ける？→「濃度X%の水溶液を濃度y%まで希釈するにはX÷Y倍にすればよい」

濃度の定義は

節度ある適度な飲酒量とは、純アルコールで一日に平均して約20g程度とされているので濃度計算について勉強してください。

>重量%であっても、容量%であってもやり方は全く同じですよ～。

重量%であっても、容量%であってもやり方は全く同じですよ～。

大雑把で良いのなら話は別ですが、正確に考えるのであれば、まず、体積で考えるのか質量で考えるのかをはっきりさせる必要があります。

>「濃度25%の塩水を、濃度9%までに薄めるには、

中学校でやる食塩水の濃度問題と全く同じ。

感覚的にわかりやすい数字で考えてみます。

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