ラプラス変換の「指数位数の定義」について

ラプラス変換可能な関数 f(t) について
　　|f(t)|≦Me^αt
を満たす定数Mとαが存在するとき、f(t) は指数α位の関数という。

　　|sin(at)| ≦ 1 = 1e^0t なので sin(at) は指数 0 位の関数

　　|e^(at)| = e^(at)≦ 1e^(at なので e^(at) は指数 a 位の関数

　この2つはいいのですが、f(t) = t とか f(t) = t^2 は 指数何位の関数になるのでしょうか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/19 01:12

これでも見てください。

https://mecs.jp/multimedia/diffpub/node47.html

|f(t)| ≦ Me^(αt) を満たす定数 M と α が存在するとき、
f(t) は「指数位数 α である」という他に
単に「指数位数である」という言い方もします。

「指数位数」を定義する目的は、リンク先の 定理 5..1 ですから、
問題は f(ｔ) が指数位数であるか、指数位数ではないかであって、
具体的な α の値はあまり重要ではないのです。

だから、ある関数が「指数何位の関数」か？と問うこと自体に
意味がない。指数位数って、そういうものじゃないんですよ。

定義の内容を見てみると、0 < α < β であるとき、
関数 f(t) が指数位数 α であれば
同時に指数位数 β でもあります。

与えられた関数に対して、その関数の指数位数の値なるものを
定義しようと試みるなら、そのような α の最小値でも
とらざるを得ないでしょう。

しかし、質問の f(t) = t とか f(t) = t^2 とかの場合、
α > 0 でありさえすれば、適当な M が存在して
|f(t)| ≦ Me^(αt) が成立します。 α に最小値がないのです。

かといって、最小値じゃなく下限が使えるかというと、
これらの f(t) が指数位数 α になるような α の下限は 0
であり、 f(t) は指数位数 0 にはなっていません。

「指数位数 α である」よりも「指数位数である」の言い方
に慣れたほうがいいと思いますよ。