中3受験生です。数学の質問です。 二次方程式 x^2-3x-6=0の2つの解をα,βとするとき, β

中3受験生です。数学の質問です。
二次方程式 x^2-3x-6=0の2つの解をα,βとするとき, β/α+α/βの値を求めなさい。という問題の楽な解き方を教えてください。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/15 00:19

ポイントは、対称式の値は基本対称式を使って表せる

ということです。今回値を求めたい式は、 β/α + α/β.
この式のように、変数の位置を入れ換えても式が変わらない式
のことを「対称式」と呼びます。
β/α + α/β の α と β を入れ替えると、
α/β + β/α になって、もとの式と同じですよね。

一方、解と係数の関係から出てくる方程式の係数の式
を「基本対称式」と呼びます。
2変数なら、(ｘ - α)(x - β) = x^2 - (α+β)x + αβ より、
α+β と αβ が α,β の基本対称式です。
3変数の場合は、(ｘ - α)(x - β)(x - γ) =
= x^3 - (α+β+γ)x^2 + (αβ+βγ+γα)x - αβγ より、
α+β+γ, αβ+βγ+γα, αβγ が α,β,γ の基本対称式です。

要するに、 α/β + β/α が α+β と αβ の式で表せる
ということを言っています。 表せますか？ やってみましょう。
通分すると α/β + β/α = (α^2 + β^2)/(αβ)
少し工夫すると　　　　　= ((α+β)^2 - 2αβ)/(αβ)
と変形できるので、
(ｘ - α)(x - β) = x^2 - (α+β)x + αβ = x^2 - 3x - 6
なのであれば、解と係数の関係 α+β = 3, αβ = -6 より
α/β + β/α = ((α+β)^2 - 2αβ)/(αβ)
　　　　　　= ((3)^2 - 2(-6))/(-6)
　　　　　　= -7/2.

大正式の古臭い技法ですが、
令和の人も知っておくべきです。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/08/14 23:30

解と係数の関係より

α+β＝3
αβ＝-6
これを使って
(α+β)²＝α²+β²+2αβ＝3²
α²+β²＝3²-2αβ＝3²-2・(-6)＝21
求めるべき値
＝(α²+β²)/(αβ)
＝21/(-6)
＝-7/2
(^⁠_⁠^)

この回答へのお礼

理解できました！ありがとうございます！

お礼日時：2024/08/15 00:00

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/08/14 23:29

2つの解が α, β なら、与えられた方程式は

　(x - α)(x - β) = 0　　　　①
と書けることは分かりますか？

x=α あるいは x=β を代入すれば =0 になりますよね。

①を展開すれば
　x^2 - (α + β)x + αβ = 0　　　②
になります。

これが与えられた方程式
　x^2 - 3x - 6 = 0
と一致するには
　α + β = 3　　　　③
　αβ = -6　　　　　④
であればよいです。
（これは「解と係数の関係」ということで、便利な関係です）

求める値の式は
　β/α + α/β
= (β^2 + α^2)/αβ
= [(α + β)^2 - 2αβ]/αβ
ですから、③④を代入すれば値が求まりますね。

この回答へのお礼

解けるようになれました！回答ありがとうございました！

お礼日時：2024/08/15 00:01