等温変化と断熱変化をVで偏微分したdP/dVを求めたいんですがどういうふうにすればいいですか？ 断熱

等温変化と断熱変化をVで偏微分したdP/dVを求めたいんですがどういうふうにすればいいですか？

断熱変化はdP/dV=γP/V (γが比熱比)こういうのがどうやって出てきたのか教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/16 16:35

「理想気体」についてでよいのですか？

（現実の気体は、種類によって特性が異なる）

理想気体であれば、状態方程式
　PV = nRT　　　①
が成り立ちます。

(a) 等温変化
こちらは簡単。
　T = 一定ですから、①の右辺は定数です。
　①を
　　PV = k
と書けば
　　P = k/V
従って
　　dP/dV = -k/V^2
k を戻せば
　　dP/dV = -nRT/V^2

(b) 断熱変化の場合には、内部エネルギーを U とした熱力学第一法則
　Q = dU + W
で Q=0 ですから
　dU = -W　　　　②

気体が外部にする仕事とは
　W = PdV　　　③
また、内部エネルギー U は温度だけの関数で、定積モル比熱を c として
　dU = cndT　　　④
③、④を②に代入して
　cndT = -PdV　　⑤

一方、状態方程式①より
　P → P + dP、V → V + dV、T → T + dT
に変化させたときには
　(P + dP)(V + dV) = nR(T + dT)　　　⑥
⑥ - ① より
　PdV + VdP + dPdV = nRdT
ここで、微小値どうしの積である dPdV は「極めて小さい」として無視すると
　PdV + VdP = nRdT　　　　⑦

これを⑤に代入すれば
　c(PdV + VdP)/R = -PdV
→　(R/c + 1)PdV = -VdP　　　　⑧

ふつうは、これを変数分離で積分して V と P の関係を求めますが、ここでは
　dP/dV
を求めるので、⑧から直接
　dP/dV = -(R/c + 1)P/V　　　　⑨

比熱比 γ は、「定積比熱」と「定圧比熱」の比で、定圧比熱を Cp と書けば、マイヤーの法則から
　Cp - c = R
ですから
　γ = Cp/c = (c + R)/c = 1 + R/c
なので、⑨は
　dP/dV = -γP/V
となります。
圧力と体積は逆方向に変化しますから（一方が増加すれば、他方は減少する）係数はマイナスになるはずです。

前の質問で紹介した、下記の記事（おそらく教科書に同じものが載っている）をちゃんと勉強してください。
https://rikeilabo.com/adiabatic-change-and-poiss …

No.2 回答者： kanta2006 回答日時： 2024/10/17 07:07

学生さんですかね。

教科書を読んだり、授業を真面目に聞いたりしても理解出来ていないことを、ここで数行の質問をして、数行の回答で理解出来るようになるのは無理があるように思います。

式を1つ出して、こういうのがどうやって出てきたのかという大きな枠で質問するより、まずはしっかりと教科書を読み込んで、授業もちゃんと聞いて、その中で分からないピンポイントを質問される方が良いのではないかと思います。