積分について

f(x)=x(0<=x<=1)、f(x)=2x-1(1<=x<=2)とする。0<=x<=2のときf(x)の面積を求めよ。

解答：
(x^2/2)[0->1]+(x^2-x)[1->2]=5/2と正しく求まりました。

質問：

最初はまとめて積分しようとして

∫[0->2]((k+1)x-k)dx=((k+1)*x^2/2-kx)[0->2]=2となってしまいました。

x=1で不連続だから間違っているんでしょうか。

質問ですが、これを1回の積分で求める方法はありますか？教えてください。

No.4 回答者： そこらへんの物知りな人 回答日時： 2024/10/22 01:55

調べたところで応用できないと思いますが...

というか私の言い方が悪いですね。正確には1回の積分というより1つの式で行うというものです。結果として計算は2回です。

(解)
与えられた関数
f(x)=｛x(0≦x≦1),
2x-1(1≦x≦2)｝
をヘヴィサイド関数を用いて表現する。
それ即ち、
f(x)=x・H(1-x)+(2x-1)・H(x-1)
であり、積分範囲0→2での積分
∫0→2 dx x・H(1-x)+(2x-1)・H(x-1)を議論する。
ここで、
区間 0≦x≦1では H(1-x)=1 かつ H(x-1)=0 なので、f(x)=x、
区間 1≦x≦2では H(1-x)=0 かつH(x-1)=1 なので、f(x)=2x-1である。
したがって、
∫0→2 dx x・H(1-x)+(2x-1)・H(x-1)
=[x^2/2]0→1+[x^2-x]1→2
=1/2+2
=5/2
よって答えは5/2

はい。普通に高校範囲で積分する方がいいです。途中で同じ式出てますし。

この回答へのお礼

教えていただき、ありがとうございます。

それにしてもヘヴィサイド関数が他の問題でどう役に立ってるんですかね。

お礼日時：2024/10/22 02:11

No.3 回答者： そこらへんの物知りな人 回答日時： 2024/10/22 01:32

積分の基礎の理解ができていない方が大学数学を理解するのは難しいかと。

微分積分を扱うのは数学の中の解析学という分野ですが、その初歩にε-δ論法というのがあります。極限の定義です。これを知らなければ大学数学での微積はなにもできません。

表すと、
∀ε>0 ,∃δ>0, 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-b|<δ
というものです。なにがなんだかさっぱりだと思います。しかしこれが理解できないと解析学は始まりません。

この回答へのお礼

ネットや本である程度調べるので、1回の積分の解答を教えてくれませんか。

お礼日時：2024/10/22 01:34

No.2 回答者： そこらへんの物知りな人 回答日時： 2024/10/22 00:54

kとはなんでしょう？？定義されていない文字を使うのは数学的にだめです。

答えると、おっしゃる通りx=1で不連続だからねす。積分範囲が異なる複数の関数を積分するときは、別々で計算する必要があります。グラフ描くと分かりやすいです。


一回の積分で求める方法はあるにはありますが、ばりばり大学数学の範囲です。

この回答へのお礼

社会人なんで、大学数学でいいので教えてくれませんか。

お礼日時：2024/10/22 00:56

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/22 00:43

＞最初はまとめて積分しようとして

＞
＞∫[0->2]((k+1)x-k)dx

それはいったいどういう意味の立式なのですか？
「k」とは何？

そして、そもそも「f(x)の面積」って何？

＞x=1で不連続だから間違っているんでしょうか。

いや、そもそも 0～1, 1~2 で異なる関数なのだから、１つの区間で積分するのは原理的にできません。

この回答へのお礼

＞それはいったいどういう意味の立式なのですか？
＞「k」とは何？

＞そして、そもそも「f(x)の面積」って何？

この文はいったいどういう意味なんですか？教えてくれませんか？

お礼日時：2024/10/22 01:29