天井に固定した軽いばねに質量mの物体を吊り下げると、自然長からaだけ伸びて静止した。それから自然長ま

天井に固定した軽いばねに質量mの物体を吊り下げると、自然長からaだけ伸びて静止した。それから自然長まで持ち上げた時、手の仕事を求めよ。という問題なんですが、上向き正とすると、mg-kxの力でaだけ持ち上げたのだから-a→0の区間で積分しようとしましたが、答えが合いません。どうしてですか。

質問者からの補足コメント

• (あとのエネルギー)-(前のエネルギー)＝仕事でやる場合。上向きせいか、下向き正かで変わってきます。何故ですか？

    補足日時：2024/11/10 07:43

No.7 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/11/12 16:22

>(あとのエネルギー)-(前のエネルギー)＝仕事でやる場合。

上向きせいか、下向き正かで変わってきます。何故ですか？

変わりません。
質問者の計算が間違っているのが原因です。

ばねの弾性力は自然長の時の座標を0にすれば、上向きが正だろうが下向きが正だろうが-kxとなります。(向きによる符号の違いはxの符号の違いとなって表れる。kxの前につく符号は必ずマイナスになります。これは自然長からの変位と逆向きの力であるため、向きの定義のよらずマイナス固定なのです)

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/10 17:19

No.4 です。

バネが「a だけ伸びたところでつり合った」ので
　mg = ka
であり
　k = mg/a　　　②
ということになります。

従って、x:-a→0 だけ持ち上げるために手の力がした仕事
　W = mga - (1/2)ka^2
の k に②を代入すれば
　W = mga - (1/2)(mg/a)a^2 = mga - (1/2)mga
　　= (1/2)mga
になります。

「質量 m の物体を a だけ持ち上げる」つまり「位置エネルギーを mga だけ増加させる」のに必要な仕事を、「手の力が半分」したわけで、残り半分は「バネの復元力がした」ことになります。

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2024/11/10 15:33

-a→0で積分ってあるから基準点Oをばねの自然長にとった

ということですか？
そのばあい、重力とばねの力のつり合い点での位置エネルギーは
－mga＋(1/2)ka²になります、もちろん上向き正、下向き正でも
同じです。したがって
後－前＝0－(－mga＋(1/2)ka²)＝mga－(1/2)ka²＝(1/2)ka²
が手のした仕事です。（mg＝kaに注意）

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/10 12:25

No.2 です。

失礼しました。
＞「力 × 変位」でまじめに解くのであれば
以降を、上向き、下向きが混在して面倒なので、質問者さんのとおり「上向きを正」に統一しました。

下記に訂正します。

******************************

上向きを正として、バネの自然長からの変位が x (-a≦x≦0）のとき、　
・重力：-mg (下向き）
・バネの復元力：-kx （kx>0 なので上向き）
なので、その合力は、
　F(x) = -mg - kx
「手の力」は、これに逆らって上に動かす力なので
　f(x) = -F(x) = mg + kx　　　①
です。(静的に「つり合った状態」を保ちながら持ち上げる場合）

この①の力で「上向き」に微小距離 dx だけ持ち上げたときの仕事は
　dW = f(x)dx
なので、x:-a→0 だけ持ち上げるための仕事は
　W = ∫[-a→0]f(x)dx = ∫[-a→0](mg + kx)dx
　　= [mgx + (1/2)kx^2][-a→0]
　　= 0 - [-mga + (1/2)ka^2]
　　= mga - (1/2)ka^2
で、上と同じ結果になります。

*****************************

質問者さんの

＞上向き正とすると、mg-kxの力でaだけ持ち上げたのだから

の「-kx」は、ばねの自然長を x=0 として変位「x」を「マイナス」側にとっているので「+ kx」としないといけません。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/11/10 12:24

式を立てる前に座標の取り方をきちんと確認しましょう。

質問者はx軸の原点を自然長の位置に、上向きに正としていますね。
その場合
重力が下に引く力は-mg
ばねが引く力は-kx
となります。(二つ目の力の符号に注意。ばねの弾性力の符号は座標の符号等は逆になります)

この二つの合力に釣り合う力は
mg+kx
となるのです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/10 11:49

＞自然長からaだけ伸びて静止した。

それがつり合い点で、
・位置エネルギー：基準として「ゼロ」とする
・バネの弾性エネルギー：自然長から a だけ伸び a ているので (1/2)ka^2
・運動エネルギー：静止しているので「ゼロ」
力学的エネルギーは
　E0 = (1/2)ka^2

それから自然長まで持ち上げた時
・位置エネルギー：基準（つり合い点）から a だけ持ち上げているので mga
・バネの弾性エネルギー：自然長なので「ゼロ」
・運動エネルギー：静止しているので「ゼロ」
力学的エネルギーは
　E1 = mga

これら２つの力学的エネルギーの差が「手で加えた力のした仕事」なので
　仕事 = E1 - E0 = mga - (1/2)ka^2


高校物理ならこの解き方でしょう。

「力 × 変位」でまじめに解くのであれば、バネの伸びが x (0≦x≦a）のとき
・重力：mg (下向き）
・バネの復元力：kx （上向き）
なので、その合力は、下向きを正とすれば
　F(x) = mg - kx
「手の力」は、これに逆らって上に動かす力なので「上向き」に
　f(x) = mg - kx　　　①
です。(静的に「つり合った状態」を保ちながら持ち上げる場合）

この①の力で「上向き」に微小距離 dx だけ持ち上げたときの仕事は
　dW = f(x)dx
なので、x:0→a だけ持ち上げるための仕事は
　W = ∫[0→a]f(x)dx = ∫[0→a](mg - kx)dx
　　= [mgx - (1/2)kx^2][0→a]
　　= mga - (1/2)ka^2
で、上と同じ結果になります。

＞上向きせいか、下向き正かで変わってきます。何故ですか？

仕事をするのは「手の力」ですから
・力の向き：上向き
・変位の向き：上向き
です。
上を正にしようが、下を正にしようが、力の向きと変位の向きが同じなら「力のする仕事」は正です。

このとき「重力がする仕事」は負です。重力（下向き）と変位（上向き）が逆ですから。

もし「変わる」なら、おそらく「どの力？」を間違っているからです。

No.1 回答者： amerikaumare 回答日時： 2024/11/10 07:41

答えてあげようと思ったけど　数式を記述できないのであきらめた。

ポイントだけ言えば
「mg-kxの力で積分する」という考え方は正しいですが、力の向きや釣り合い条件を確認して積分を行う必要があります。