下の問題のf(x)が解答の微分結果になるまでの過程を教えてください。

下の問題のf(x)が解答の微分結果になるまでの過程を教えてください。

質問者からの補足コメント

• ありものがたりさん
  
  なるほど…
  上から4行目のe ^2x＝2＋√3は、f’(x)＝0をどうやって計算すれば求められますか？

    補足日時：2024/12/09 16:28

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/09 18:17

←補足 12/09 16:28

f’(x) = -2e^(-2x){ e^(4x) - 4e^(2x) + 1 }/(e^x + e^-x)^4 = 0
⇔　e^(4x) - 4e^(2x) + 1 = 0 だから、

t = e^(2x) と置いて
⇔　t^2 - 4t + 1 = 0
⇒　t = 2 ± √3.

x ≧ 0 の範囲で考えているから、 t ≧ 1 であって
t = 2 + √3 と判る。

この t を挟んで、 0 ≦ x < (1/2)log(2+√3) と (1/2)log(2+√3 < x で
f(x) の増減がどうなるかを考えれば、最大値が判る。

この回答へのお礼

なるほど。ありがとうございました。

お礼日時：2024/12/09 19:26

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/09 13:44

私も公式暗記は苦手で、学生時代は避けて通ってました。

商の微分より、積の微分のほうが簡単ですよね。

f’(x) = { (e^x - e^-x) (e^x + e^-x)^-3 }’
　　= (e^x - e^-x)’ (e^x + e^-x)^-3 + (e^x - e^-x) { (e^x + e^-x)^-3 }’
　　= (e^x + e^-x) (e^x + e^-x)^-3 + (e^x - e^-x) { -3 (e^x + e^-x)^-4 } (e^x + e^-x)’
　　= (e^x + e^-x) (e^x + e^-x)^-3 + (e^x - e^-x) { -3 (e^x + e^-x)^-4 } (e^x - e^-x)
　　= { (e^x + e^-x)(e^x + e^-x) - 3(e^x - e^-x)(e^x - e^-x) }/(e^x + e^-x)^4
　　= { e^(2x) + 2 + e^(-2x) - 3(e^(2x) - 2 + e^(-2x)) }/(e^x + e^-x)^4
　　= { -2e^(2x) + 8 - 2e^(-2x) }/(e^x + e^-x)^4
　　= -2e^(-2x){ e^(4x) - 4e^(2x) + 1 }/(e^x + e^-x)^4.

{ (e^x + e^-x)^-3 }’ を計算するところで、合成関数の微分も使っています。

最後の行の奇妙な変形は、 f’(x) の正負を t = e^(2x) で考えるために
あの形にしたんでしょうね。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/12/09 10:32

「商の微分」を使います。

[g(x)/h(x)]’ = [g'(x)h(x) - g(x)h'(x)]/[h(x)]^2

これで
　g(x) = e^x - e^(-x)
　h(x) = [e^x + e^(-x)]^3
とすればよいです。

この公式の導出は、別なところで一生に１回でよいのでやってみましょう（１回やってみれば、あとは一生「公式」として使えばよい）

g'(x) = e^x + e^(-x)
h'(x) = 3[e^x + e^(-x)]^2･[e^x - e^(-x)]
になることが分かれば

[g(x)/h(x)] = {[e^x + e^(-x)][e^x + e^(-x)]^3 - [e^x - e^(-x)]･3[e^x + e^(-x)]^2･[e^x - e^(-x)]} / [e^x + e^(-x)]^6
= {[e^x + e^(-x)]^4 - [e^x - e^(-x)]^2･3[e^x + e^(-x)]^2} / [e^x + e^(-x)]^6
= {[e^x + e^(-x)]^2 - 3[e^x - e^(-x)]^2} / [e^x + e^(-x)]^4
= {e^2x + 2 + e^(-2x) - 3e^2x + 6 - 3e^(-2x)]} / [e^x + e^(-x)]^4
= {-2e^2x + 8 - 2e^(-2x)} / [e^x + e^(-x)]^4
= -2{e^2x - 4 + e^(-2x)} / [e^x + e^(-x)]^4
= -2e^(-2x)･{e^4x - 4e^2x + 1} / [e^x + e^(-x)]^4

e のなんちゃらがいろいろ出てきて大変ですが、根気強く・泥臭く書き出していきましょう。