写真の関数列についてですが、n→∞のとき各点でgn(x)→0と収束するとのことなのですが、確かに1行

写真の関数列についてですが、n→∞のとき各点でgn(x)→0と収束するとのことなのですが、確かに1行目と3行目の式については0になりますが、2行目の式についてはn→∞のときx≒0にりますが、2nの項が無限大に発散してしまいます。なぜ、gn(x)→0と言えるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2025/01/17 17:27

収束する、ということの定義に基づいて考えればよい。

要するにε-N論法で証明すればよい。
ある点x>0について0に収束することを言うにはN=[2/x]+1とするとn>Nとなる全てのnに対してx>2/nとなることからgn(x)=0となり、0に収束することがわかる。
x=0では常にgn(0)=0だから0に収束する。

要するにnを大きくすればx>0となる点は全て2/n<xとなるようにできるのでgn(x)=0となってしまう、xをいくら小さくしてもnを十分大きくすれば上から2番目の領域にxが入ることはなくなる、ということです。

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2025/01/18 16:58

ようするに、ｘ≧0でgn(x)→0ってことですね。

ｘ＝0のときはすべてのｎにつきいちばん上の不等式が成立つから
gn(0)＝0なのでgn(0)→0です。
ｘ＞0のときある自然数Nが存在して2//N＜ｘになります。
したがってｎ≧Nならば2/ｎ≦2/N≦ｘつまり
ｎ≧Nならば2/ｎ≦ｘとなるから、いちばん下の不等式が成立つということで
ｎ≧Nならばｇn(x)＝0だからgn(x)→0　というわけです。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/17 20:49

一様収束はしないけれども各点収束するのです

ある点x≧0に対して

任意のε>0
に対して
x=0 のとき n0=1
x>0 のとき n0>2/x
となる自然数n0がある
n≧n0となる任意の自然数nに対して
x=0のとき|gn(x)|=|gn(0)|=0<ε
x>0のとき2/n≦2/n0<xだから|gn(x)|=0<ε
だから
lim[n→∞]gn(x)=0

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/17 18:37

gn(1/n) = n になるから、lim[n→+∞] gn(1/n) = +∞ であって、

lim[n→+∞] gn(0) は収束しない。

それでも困らないのは、
n→+∞ のとき [2/n,∞)→[0,∞) になるからで、
x > 0 に対して lim[n→+∞] gn(x) = 0 になる。

ただし、写真の定義では lim[n→+∞] gn(0) は定義されない。
x ≧ 0 に対して lim[n→+∞] gn(x) = 0 にはならない。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/01/17 18:12

x < 0 では未定義だから x ≧ 0 での話だと思うけど

x = 0 では gn(x) = 0, 2/n ≦ x で gn(x) =0 だから
任意の x に対して 2/n ≦ x となるように十分大きな n を選べば
gn(x) = 0
なので、任意のxに対して 数列 gn(x) は収束します。

n→∞の収束では
xに対して N<n では gn(x) = 0 になるような N が存在すればOK。

n ≦ N で何が起きようが収束には関係ないです。