超わかる さんのYouTube上の投稿より、最後の階差数列の部分の計算方法が分かりません。 Σk=1

超わかる さんのYouTube上の投稿より、最後の階差数列の部分の計算方法が分かりません。
Σk=1〜n-1 （22・3^n-1-4）
途中式も教えて欲しいです。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/26 10:18

Σk=1〜n-1 （22・3^n-1-4） ではなく

Σ[k=1〜n-1](22・3^{k-1}-4）
です

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/26 08:35

a(n+1) - a(n) = 22・3^(n-1) - 4

を使って、

a(n) = a(1) + Σ[k=1..n-1] { a(k+1) - a(k) }
　　= 5 + Σ[k=1..n-1] { 22・3^(k-1) - 4 }
　　= 5 + 22 Σ[k=1..n-1] 3^(k-1) - 4 Σ[k=1..n-1] 1
　　= 5 + 22 { 1 - 3^(n-1) }/{ 1 - 3 } - 4 { n-1 }
　　= 5 + 11 { 3^(n-1) - 1 } - 4 { n-1 }
　　= 5 + 11・3^(n-1) - 11 - 4n + 4
　　= 11・3^(n-1) - 4n + { 5 - 11 + 4 }
　　= 11・3^(n-1) - 4n - 2.

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/02/26 06:19

∑[k=1→n-1] 3^(k-1)

は公式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E6%AF%94 …

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/02/26 05:55

b[n+1]=3b[n]+8・・・・①

ここで
b[n+1]+b=3(b[n]+b)　とおくと
b[n+1]=3b[n]+2b
したがって、①と比較して
b=4

すると
(b[n+1]+4)/(b[n]+4)=3

(b[n]+4)/(b[n-1]+4)=3
・・・・
(b[2]+4)/(b[1]+4)=3

順次かけて
(b[n]+4)/(b[1]+4)=3^(n-1)
b[n]=-4+(b[1]+4)3^(n-1)

b₁=a₂-a₁　だが、a₂がないので計算できず。
b=b₁+4 とおくと

b[n]=a[n+1]-a[n]=-4+b3^(n-1)

a[n]-a[n-1]=-4+b・3^(n-2)
a[n-1]-a[n-2]=-4+b・3^(n-3)

a[2]-a[1]=-4+b・1
順次たして
a[n]-a[1]=-4(n-1)+b∑[k=1→n-1] 3^(k-1)