なぜ∃がそのまま外れるのか、おしえて下さい

すみません。以下の存在命題の同値変形について、分かりやすく説明してもらえませんか？

∃x(x=0 かつ　r=1) ⇔　∃x(x=0) かつ　∃x(r=1) ⇔　∃x(r=1) ⇔　r=1

すみません。式変形は、実際にはここまで細かく書かれてなかったのですが、自分で補足してみました。誤りがあるかもしれません。
とりあえず、上が正しいとして、自分の考えと疑問点を以下にまとめます。

1つ目の変形は∃の分配法則と思います。

2つ目の変形の左側は、xが特に指定が無いので実数全体で考えているとすると、0という要素が方程式を満たすので、左側は必ず成立する。なので、残った右側と同値であると言える。ここはおよそそんなところだと考えました。

疑問はその次です。
r=1はxには関係ない命題です。それに∃xがかかっています。
この場合、∃xは無条件で外れるようですが、これが何か説明が載ってなくて理解が曖昧です。
分かりやすく理由を教えてもらえませんか？

色々考えましたが、どうにも納得しなかったので、よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  お返事ありがとうございます。勉強になります。
  
  分配法則ではなかったんですね。ご指摘ありがとうございます。
  
  r=1の真偽はxには無関係に決まる。
  言い換えると、r=1が真であれば、どんなxに対してもそれは真なわけだから、そういうxは存在すると言えるし、逆にr=1が偽であれば、xの値がいくつであっても、それによって真偽が覆ることは無いから、そんなxは存在しない。
  まとめると、∃x(r=1)⇔r=1　‥両辺の真偽は一致するので同値。
  
  という理解で良いでしょうか？
  
  理解が悪くてあまり自信ないです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/03/11 13:15

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/10 18:44

∃の分配法則は、

　∃x ( P(x) ∨ Q(x) )　⇔　( ∃x P(x) ) ∨ ( ∃x Q(x) )
ですよ。
　∃x ( P(x) ∧ Q(x) )　⇔　( ∃x P(x) ) ∧ ( ∃x Q(x) )
ではありません。
例えば P(x) ⇔ (x=0),　Q(x) ⇔ (x=1) の場合、
　( ∃x (x=0) ) ∧ ( ∃x (x=1) ) は真ですが
　∃x ( (x=0) ∧ (x=1) ) は偽ですよね？

だから、∃の分配法則によって
　∃x(x=0 かつ r=1)　⇔　∃x(x=0) かつ ∃x(r=1)
を導くことはできません。

しかし、
　∃x(x=0 かつ r=1)　⇔　∃x(x=0) かつ ∃x(r=1)
自体は成り立ちます。
　∃x(x=0 かつ r=1)　⇔　r=1,
　∃x(x=0) かつ ∃x(r=1)　⇔　r=1
なので、結果的に r の述語として同値なのでした。
理由は、∃の分配法則ではありませんが。


疑問の点
　∃x(r=1)　⇔　r=1
は、意味論的には、 x の値がいくつだって r=1 の真偽には影響しないから
∃x があっても無くても同じだろ？ ということですが、

ちゃんとした形式論としては、
∃の除去規則↓によります。
https://abelard.flet.keio.ac.jp/person/takemura/ …
要するに、∃はそのように定義されているということです。