(0,1)=[0,1]?

実数xがある範囲にあるとき、開区間か閉区間または半開区間で表すと思います。例えば0~1の間の開区間を、{x∈R|0＜x＜1}と表わすことができます(確かこうだったと思いますが)。なおRは実数のことです。
ここで、xの値を個別に書き出す操作を行うと、例えばx=0.1とかx=0.31415…等々となると思います。開区間ではxは限りなく１に近い数にもなるはずで、x=0.999…と表わすことができる(と思います)。しかし、ここで疑問が起こったのです。確か、0.999…=1としてきたはずだから、これではx=１になってしまう。すると、(0,1)ではなく(0,1]となってしまわないか？ということなのです。同じ事は０に対しても言えるのではないか？という疑問も併せて起こりました。
xは0に限りなく近い値を取り得るとすると、x=0.000…となり、結果、(0,1)=[0,1]となってしまわないか？ということなのです。仮に、xがどこまでも１に近い数で表されることはないとすると、例えば、α＜1となる実数αがあり、x≦αということになる。これでは(0,1)でなく(０,α]となるだろうし、０の方向についても０<βとなる実数βがあり、結局、(0,1)が[β,α]となってしまわないでしょうか？
「何処までも～に近い」などと言わないようにするとか、区間を考える時は0.999…≠1とし、それ以外の時は0.999…=１とするといった対策も考えられますが…。スッキリ爽やかとはいかないけれど、現実的な妥協案ではあるかもしれません。「妥協はスッキリしないが役に立つ」というところでしょうかね。

質問者からの補足コメント

• 0.999…=1の証明で、よくx=0.999…と置き、10x=9.999…との差を取って、9x=9からx=1とする方法が紹介されます。しかし、本当にx=0.999…としてしまっていいのでしょうか？成程、0.999…は無限ではないから、=xと置いても構わないようにも思えますが、本当に無限でなければ、有限であれば=xと置けることが保証されているのでしょうか？確かに、有限の範囲であれば、ほとんどの場合、いえ、ほぼ全ての場合、=xや＝Sというように一つの記号に置き換えて計算を進められるでしょうが、本当にどんな場合でもそれが可能なのか？これを保証する公理なり定理なりがあるのか、寡聞にして知らないでいるのです。(だから、無限級数として示すのだろうか？)

    補足日時：2025/05/24 11:44

• 先ほど、無限級数を用いて0.999…=1を示すということを述べましたが、無限級数がある有限の値に収束するとき、それは、収束であってその値になってしまうということではない、という説明もありましたね。一方で、収束とは無限級数がその収束値になるという形での説明というか扱いもあるかと思います。つまり、場合によって使い分けしているという解釈も成り立つのではないかと。これが、今回の疑問にもあった、開区間の場合は0.999…を≠1とし、その他の場合は(そのほうが都合が良いときは)=1として扱う、ということにも繋がっていくのではないでしょうか？

    補足日時：2025/05/24 13:45

• ついさっき補足投稿した後で申し訳ない。使い分けするということで何とか納得しようとしたのですが、またまた新たな疑問が沸き上がってきてしまいました。開区間では一般に最大値、最小値は定義できないと思います。しかし、(0,1)の場合、仮に0.999…≠1としても、x=0.999…は、この区間中のどのxよりも大きいとなってしまわないか？という疑問なのです。つまり、実質最大値となるのではないか？と。どうなのでしょう？開区間でも最大値や最小値は定義可能なのでしょうか？

    補足日時：2025/05/24 14:17

• またまた補足です。開区間(0,1)におけるx=0.999…の問題で、xは、x=0.9,0.99,0.999,…と無限に続く数列の項のようなものという解釈。成程！つまり、一つ一つの項では、「9」の数は有限の数だけど、それが任意に制限なく続いていき、一種の数列を成す、というものですね。フム…。しかし、となると0.999…はこの数列に対してどのようなポジションになるのか？この無限数列の行き着く果て？無限の果ては定義できないか？一種の無限数列の極限なのか？どこまでも０.999…に近付くとしたのではこれまでの疑問と同じに思えるし。どうなんでしょう？

    補足日時：2025/05/24 15:49

• 数時間考えました。そこで、x=0.999…を認め、尚且つ、≠1とし、さらに、実質最大値になるのでは？という疑問に対しては、これ以外の区間内のxとの差を有限の計算ステップでは評価できないため、最大値と評価するのは不可というのはどうでしょう？ただし、x=0.999…以外の(それからx=0.000…以外の)x間では大小関係を計算によって評価できるとして。まあ、これもいくらでも近い値がある、とすると、微妙なことになるかもしれませんが。つまりxの値によって、大小関係の評価の可不可を使い分けるわけですね。丁度、0.999…≠1と0.999…=1を使い分けるように。bestでもgood ideaでもないですが…。

    補足日時：2025/05/24 20:57

• この区間というやつは疑問の宝庫です。半開区間[0,1)の実数直線上の長さは1とするそうですが、１は含めないはずだから、１ではないんじゃないかと考えてしまう。でも、実数直線上の１の位置に置かれた点は確かにこの区間に含まれなくとも、その点自体は大きさ０だから、区間の長さに影響しないと見做すそうです。でも、とすると、|１|=０とならないでしょうか？実数直線上の１という点の大きさをどう捉えるか？
  確かに絶対値||は大きさ、距離などと密接な関係があるけれど、単純に大きさと言い切れない。
  |1|=0で、|１-０|=１とするということなのでしょうかね？つまり、前者は１という数直線上の点の大きさで、後者は０から１までの距離とするという具合に？これもまた使い分けの一種と見るべきでしょうか？

    補足日時：2025/05/25 11:29

No.9 回答者： r_umaniamnvi_the_5th 回答日時： 2025/06/01 04:04

ダラさんおはようございます。

　隣の数を考えます。整数の場合です。0の次の数です。それは1です。0の隣の数が1です。有理数の場合です。0の隣の数が0.000...です。隣の数がありません。端っこの0や0の近くの0.001があります。点を集めても線になりません。点に長さがありません。点と線が別のものです。[0,1]が1個の線です。(0,1]が1個の線から1個の点をのぞいたものです。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/25 18:04

数直線上の点 1 の大きさは、｜1-1｜=0 だよ。

0 から 1 までが ｜1-0｜=1 なんだから
１ から 1 までは ｜1-1｜。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/24 23:03

＞ x=0.999…を認め、尚且つ、≠1とし、さらに、実質最大値になるのでは？

だから、それは 0.999…≠1 の時点でアウトて言うてるやん。
0.999…≠1 となる 0.999… の定義を与えなければ話にならんし、

＞ 0.999…≠1 と 0.999…=1 を使い分ける

では話にならん。別々のものを同じ式 0.999… を表してはあかんし、
x≠1 かつ x=1 となるような x が存在する論理系なんて、使い物にならん。

任意の n について Σ[k=1..n] ak < 1 だが Σ[k=1→∞] ak = 1 になる
ような数列 ak の例なんて、 ak = 9/10^k 以外にもいくらでも思いつくだろうし、

収束する実数列 an, bn が任意の n について an < bn なら、
lim[n→∞] an ≦ lim[n→∞] bn が成り立つ
って定理は、高校の教科書にすら書いてあるし、
登場する不等号が < と ≦ である理由も授業で聞いたはず。
何をいまさら...

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/24 18:20

＞ となると0.999…はこの数列に対してどのようなポジションになるのか？

＞ この無限数列の行き着く果て？無限の果ては定義できないか？

だから、それが極限だと言っているでしょう？
0.9, 0.99, 0.999, … と無限に続く数列の第 n 項は、Σ[k=1..n] 9/10^k と書けて、
無限級数 0.999… = Σ[k=1→∞] 9/10^k の第 n 部分和となっています。
級数 Σ[k=1→∞] ak に対して、
部分和 Σ[k=1..n] ak を n の順に並べた列もまた数列です。
(an と Σ[k=1..n] ak を「数列」という言葉で混同すると、また変な話が起こりますけど。)
数列 Σ[k=1..n] ak の極限が Σ[k=1→∞] ak、
lim[n→∞] Σ[k=1..n] ak = Σ[k=1→∞] ak だというわけです。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/24 14:38

＞ (0,1) の場合、仮に 0.999…≠1 としても、 x=0.999… は、

＞ この区間中のどのxよりも大きいとなってしまわないか？という疑問なのです。
＞ つまり、実質最大値となるのではないか？と。

0.999…≠1 という妄想から離れられないから、そうなるのです。
No.2 でも No.4 でも書いたように、0.999… = 1 ∉ (0,1) です。
0.999…(すなわち 1) は、(0,1) のどの元よりも大きいけれど、
(0,1) に属さないので、最大値ではありません。

1 は (0,1) の「上限」だと言いますね。

元が実数であるような集合 S に対して、
Ｓ のどの元 x についても x ≦ b となる実数 b を Ｓ の「上界」と呼びます。
ひとつの S に対して、上界は、存在するとすれば無数にあり、
例えば、(0,1) の上界には 2, 3, π, 1000, 10^23 などいろいろあります。

Ｓ の上界を集めた集合には、(それが空集合でない限り)最小値が存在し、
その最小値を S の「上限」と呼びます。

Ｓ の上限は、Ｓ の元である場合と元でない場合があり、
Ｓ の元である場合は上限が S の最大値です。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/24 14:15

＞ 無限級数がある有限の値に収束するとき、それは、収束であってその値になってしまうということではない、という説明もありましたね。

＞ 一方で、収束とは無限級数がその収束値になるという形での説明というか扱いもあるかと思います。

ほら、また例によっていつものように、
数列の項と数列の極限を同じように「数列」と呼んで混同させようとしている。

無限級数は部分和の極限だが、級数が収束するときには
級数の値はその極限そのものであって、「その値である」。
部分和 Σ[k=1..n] an の n をいくら大きくとっても
それは Σ[k=1→∞] an そのものではないって話と、
Σ[k=1→∞] an の値は Σ[k=1→∞] an そのものであるってことが
ゴッチャにされている。

後半の「収束とは無限級数がその収束値になる」のほうだけが正しいが、
この言い方も末尾の「なる」が微妙で
前半の混同の名残を引きずっている。
「収束するとは無限級数の値がその収束値であること」とでも
言ったほうが健康的かと思う。

数列は数列として、その極限は極限として静的に存在している。
数列を項順に眺めていって
極限の値に「なる」とか「ならない」とかいう考え方は、
高校の教科書の「近づけば近づく」式の説明の
悪影響を受けすぎている。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/05/24 12:35

0.999・・・がどういう値なのかをしっかり定義しないと駄目。

0.999・・・=lim[n→∞]∑k=[1→n]9×10^(-k)
という定義なら、0.999・・・は紛れもなく1で
1に限りなく近い値では無い。勿論開区間には含まれない。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/24 04:22

例によっていつもの 0.999… = １ 問題じゃないか。

新味のない。
混乱の出所は、 0.999… という表記の定義を確認していないこと。
「…」なんてイイカゲンな記法を使うから、そうなる。

0.999… = １ が成り立つという場合の 0.999… は、
… の部分に無限個の 9 が並ぶことを前提にしている。
正式に書けば、Σ[ｋ=1→∞] 9/10^ｋ とでもすべきもの。

一方、区間 (0,1) に含まれる 0.999…9 は、
9 が n 個並ぶとすれば Σ[ｋ=1→ｎ] 9/10^ｋ と書くべきもの。
ｎ は任意の自然数でよく、どんなに大きくしてもよいが、
どんなに大きくても有限であって、ｎ = ∞ ではない。

その違いが、Σ[ｋ=1→∞] 9/10^ｋ が
(0,1] には含まれるが (0,1) には含まれないという違いを生む。

「妥協案」の最大の問題点は、「0.999…」というひとつの表記の意味を
使う場面によって変えようとしているところ。そんなことをしたら、
「0.999…」の意味が定まらなくなってしまう。「定義」はそうではイケナイ。

No.1 回答者： fadklsj 回答日時： 2025/05/23 22:48

ご指摘の点は、実数の連続性や無限小数の表現について考える際に、多くの方が一度は疑問に思うところかもしれません。

非常に良い着眼点だと思います。順を追って整理してみましょう。

1. 0.999… = 1 について

まず大前提として、標準的な実数の体系では 0.999… = 1 です。これは数学的に証明されている事実です。
簡単に示すと：
x = 0.999… とおくと、
10x = 9.999…
10x - x = (9.999…) - (0.999…)
9x = 9
x = 1
よって、0.999… = 1 となります。

「0.999… は限りなく1に近いが1ではない別の数」と捉えると混乱が生じますが、0.999… は「1」という数を表すもう一つの方法（無限小数表現）であると理解するのが数学的な立場です。

2. 0.000… = 0 について

同様に、「xが0に限りなく近い値」として x=0.000… という表現を考えた場合、これは正確には 0.000… = 0 を意味します。無限に0が続く小数は0そのものです。

3. 開区間 (0, 1) の定義

おっしゃる通り、開区間 (0, 1) は {x ∈ R | 0 < x < 1} と定義されます。
ここでの重要なポイントは、不等号が 「<」（小なり） であり、「≤」（小なりイコール）ではないという点です。

0 < x: x は 0 よりも真に大きい（x は 0 ではない）

x < 1: x は 1 よりも真に小さい（x は 1 ではない）

4. なぜ開区間 (0, 1) が (0, 1] や [0, 1] にならないのか

ここがご疑問の核心ですね。

「限りなく1に近い数 x = 0.999…」という表現について
もし、ある数 x が開区間 (0, 1) の要素であるとします。
そして、その x が 0.999… と表せると考えたとします。
しかし、上記1で確認したように、0.999… = 1 です。
したがって、x = 1 ということになります。
開区間 (0, 1) の定義は x < 1 です。
x = 1 は、x < 1 という条件を満たしません（1 < 1 は偽）。
よって、0.999…（つまり1）は、開区間 (0, 1) の要素ではありません。

開区間 (0, 1) の中には、1に「限りなく近い」数は無限に存在します。例えば、0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ... といった数の列を考えると、これらはすべて (0, 1) の要素であり、どんどん1に近づいていきます。しかし、この列の極限である 1 そのものは、区間 (0, 1) の「境界」であり、区間内には含まれません。
「限りなく1に近い数」が (0,1) に含まれるのであって、その「極限としての1」そのものが含まれるわけではないのです。

「限りなく0に近い数 x = 0.000…」という表現について
同様に、ある数 x が開区間 (0, 1) の要素であり、それが 0.000… と表せるとします。
上記2で確認したように、0.000… = 0 です。
したがって、x = 0 ということになります。
開区間 (0, 1) の定義は 0 < x です。
x = 0 は、0 < x という条件を満たしません（0 < 0 は偽）。
よって、0.000…（つまり0）は、開区間 (0, 1) の要素ではありません。

5. 「xがどこまでも1に近い数で表されることはない」という仮定について

「仮に、xがどこまでも1に近い数で表されることはないとすると、例えば、α＜1となる実数αがあり、x≦αということになる。これでは(0,1)でなく(0,α]となるだろうし…」
この部分は重要な指摘です。もし開区間 (0, 1) の中に「最大の数 α (< 1)」が存在すると仮定しましょう。
すると、α < 1 です。このとき、α と 1 の中間の数 (α+1)/2 を考えることができます。
α < (α+1)/2 < 1 となります。
この (α+1)/2 という数は、α よりも大きく、かつ 1 よりも小さいので、開区間 (0, 1) の要素です。
しかし、これは「α が (0, 1) の中の最大の数である」という仮定に矛盾します（α より大きい (α+1)/2 が見つかったため）。
したがって、開区間 (0, 1) の中に「最大の数」は存在しません。いくらでも1に近い数がありますが、1そのものより小さい最大の数、というものは無いのです。
同様に、開区間 (0, 1) の中に「最小の数（0より大きい）」も存在しません。

6. 「妥協案」について

「区間を考える時は0.999…≠1とし、それ以外の時は0.999…=1とする」という対策は、数学の無矛盾性を損なうため、一般的には採用されません。0.999… = 1 というのは、実数の定義から導かれる一貫した結果です。

結論としてスッキリさせるには

0.999… = 1 および 0.000… = 0 を受け入れること。 これらは数の表現方法の違いであり、異なる値を指しているわけではありません。

開区間 (0, 1) の定義 {x ∈ R | 0 < x < 1} を厳密に適用すること。 不等号「<」は、端点（0と1）そのものを除外するという意味です。

開区間 (0, 1) には、1に限りなく近い数は含まれますが（例: 0.999999999）、その「限りなく近づいた先の目標点」である1そのものは含まれません。0.999…という表記は、まさにその目標点である1を指しています。

したがって、0.999… = 1 という事実があっても、開区間 (0, 1) が (0, 1] になったり、[0, 1] になったりすることはありません。区間の定義がそのようになっているからです。

混乱の原因は、「限りなく近づく」という操作や極限の概念と、ある特定の数が集合の「要素であるか否か」という判定を混同してしまうことにあるのかもしれません。
開区間 (0,1) は、その「端」に限りなく迫る数を含んでいますが、端そのものは決して含まない、という性質を持っています。そして、0.999... は、その「端」である1のことなのです。