1~nまでの数を1列に並べるときに、i番目にiという数字が来ない順列を名刺順列とか完全順列とか言います。
このような順列の個数をA(n)とすると、
A(n)=n! * Σ_{k=0}^{n} (-1)^k / k!
であるそうです。この導出の仕方を教えて下さい。
ちなみに、A(n)に関する漸化式 A(n)=(n-1)*{A(n-1)+A(n-2)}, A(1)=0, A(2)=1は既に理解していますので、この漸化式の解き方でもいいです。
(この漸化式は1世代前の青チャートで見ました^^;)
この式を用いると、全世界の人が名刺を1枚ずつ持ち寄ってシャッフルしたとき、自分のところに自分の名刺が戻ってくる人が1人もいない確率が1/e=36.8%もあることがわかり、なかなか神秘的なのですが。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
kony0さん、こんにちは。
自然対数の底がこんなところで出てくるなんて不思議ですよね。漸化式まで立てられているのならあとは簡単です。
A(n)=(n-1){A(n-1)+A(n-2)} (1)
について、A(n)=n! B(n)なる新たな数列B(n)を考えます。
n! B(n)=(n-1){(n-1)! B(n-1)+(n-2)! B(n-2)} (2)
整理すると
n(n-1) B(n)=(n-1)^2 B(n-1)+(n-1) B(n-2) (3)
から
n B(n)-(n-1) B(n-1)-B(n-2)=0 (4)
を得ます。これを2項間漸化式に持込むことを考えます。
2項間漸化式に直すと
B(n)-B(n-1)=(-1/n){B(n-1)-B(n-2)} (5)
を得ます。順次、式変形すると
B(n)-B(n-1)=(-1/n){B(n-1)-B(n-2)}=.....=(-1)^(n-2) ((2×1))/n!){B(2)-B(1)} (6)
となります。
また、(5)式の左辺は幸運なことに階差数列になっています。となると、単純に両辺のΣをとる一手です。
B(k)-B(1)=Σ(-1)^(n-2) ((2×1))/n!){B(2)-B(1)} (7)
(両辺の和はn=2からn=kまで取る)
ここにB(2)=1/2, B(1)=0ですから
B(k)=Σ(-1)^(n-2) (1/n!)
=Σ(-1)^n (1/n!) (8)
と求められます。(和はn=2からn=kまで取る)
ここで(-1)^0 (1/0!)+(-1)^1 (1/1!)=0であることを使えば
B(k)=Σ(-1)^n (1/n!) *和は今度は、n=0からn=kまで取る (9)
というスッキリした形に整理できます。
A(n)に直した式はなくてもいいですよね。
関数f(x)=exp(x)のテーラー展開を考え、x=-1を代入すると(8)と同じになります。
ですからご質問の最後の「全世界の人が名刺を・・・」の確率は1/eになるわけですね。
*計算間違いをしているかも知れません、ご自分で式をチェックしながら読んで頂ければ幸いです。
ご回答ありがとうございます。その文字置きはまったく思いつきませんでした。
本当に文字置きだけできてしまえば、あとは綺麗に解けるんですね~。
B(n)ってn個の順列のうち名刺順列になるものの確率を表しているので、立式の段階で(4)式がたてられる考え方がきっとあるはずと思います。そちらのほうは暇なときに考えてみます。この式から出発だと簡単ですしね。
ありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
xが分子の足し算、どうやるんで...
-
3のn-1乗はどうやって解けばよ...
-
なぜ両辺が負の時に両辺を二乗...
-
指数方程式についてです。 2^x+...
-
2のX乗+2の−X乗の解き方がわ...
-
一次不定方程式(ユークリッド...
-
整数係数とは?
-
答えが2になる複雑な数式を探...
-
不等式について
-
[三角系ABCにおいて、a=1+√3 ,...
-
逆数をとるということ
-
20 5 ━━━━━━━━=━ (n+5)(n...
-
情報処理技術者での質問です。
-
54mm×86mmは何対何ですか?
-
大きい数の連立方程式がわかり...
-
関数F(x)=x^3+ax^2+bx+1(a b...
-
数学の質問です。 kを正の実数...
-
A,B,Cを定数とする。x^2+2x+17/...
-
恒等式の両辺を微分して得られ...
-
-0.1と-0.01ってどっちが大き...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
xが分子の足し算、どうやるんで...
-
なぜ両辺が負の時に両辺を二乗...
-
2のX乗+2の−X乗の解き方がわ...
-
指数方程式についてです。 2^x+...
-
-0.1と-0.01ってどっちが大き...
-
3のn-1乗はどうやって解けばよ...
-
答えが2になる複雑な数式を探...
-
一次不定方程式(ユークリッド...
-
不等式について
-
大きい数の連立方程式がわかり...
-
数学ではよく、両辺を2乗します...
-
平方根を取る とはどういう...
-
2乗しても同値性が崩れないと...
-
恒等式の両辺を微分して得られ...
-
54mm×86mmは何対何ですか?
-
中二 方程式 18/100 × (300+x) ...
-
a1=1 , an+1 = √1+an (n=1...
-
中学生の数学
-
基礎問題精講 数学ⅠA 127 (2)が...
-
√(-1)=±iですか?iは虚数単位...
おすすめ情報