数列の証明

-1<a<1のとき
1+a^1+a^2+a^3+.....+a^∞=1/(1-a)
が成り立ったと思うのですが、どうやって証明するか忘れました。
教えて頂けないでしょうか。
宜しくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： zerosix 回答日時： 2001/11/01 10:49

問題は正確に写しましょう。

1+a^1+a^2+a^3+.....+a^∞=1/(1-a)
という式はありません。

数学は覚えるものではないですよ。考えるものです。
覚えるから忘れるのです。

S=1+a+・・・+a^n　　・・・(1)
とおく。
-1<a<1より
aS=a+・・・+a^n+a^(n+1)　・・・（２）

よって、
(1)-(2)より
(1-a)S=1-a^(n+1)

ゆえに
S=[1-a^(n+1)]/(1-a)

n→∞とすると、-1<a<1より、a^(n+1)→0
ゆえに
S→1/(1-a)

この回答へのお礼

ありがとうございます！！
済みません、思考停止していたようです。
考える習慣を身に付けたいと思います。

お礼日時：2001/11/01 11:09