化学系の学部にいるので数学は不得意なのですが,誰か教えて下さい。
ラプラシアンを2次元直交座標から2次元極座標に変換する場合
直交座標(x,y),極座標(r,θ)とすると,
x=rcosθ,y=rsinθ・・・(1)からδ/δx,δ/δyを求める時,参考書によると
r^2=x^2+y^2,tanθ=y/x・・・(2)
δ/δx=(δ/δr)(δr/δx)+(δ/δθ)(δθ/δx)
δ/δy=(δ/δr)(δr/δy)+(δ/δθ)(δθ/δy)・・・(3)
(2)をxで微分すると
2r(δr/δx)=2x=2rsinθ
(1/(cosθ)^2)(δθ/δx)=-(y/x^2)=-(sinθ/r(cosθ)^2)
より
δr/δx=cosθ,δθ/δx=-(1/r)sinθ
同様に
δr/δy=sinθ,δθ/δy=(1/r)cosθ
以上の関係を(3)に入れれば,
δ/δx=cosθ(δ/δr)-(1/r)sinθ(δ/δθ)
δ/δy=sinθ(δ/δr)+(1/r)cosθ(δ/δθ)となります。
これで,合っていいるのですが,初めて,私がこの問題を考えた時,
(1)をそれぞれ,rとθで偏微分しました。
δr/δx=1/cosθ,δθ/δx=-(1/rsinθ)
δr/δy=1/sinθ,δθ/δx=(1/rcosθ)となりsinθ,cosθの項が
正解と逆転してしまい,異なる結果となってしまいました。
私は,どちらの方法でも同じになると思っていたのですが,
どうして,違うのですか誰か分かりやすく教えて下さい。

A 回答 (2件)

座標変換や偏微分を教えていると,よくお目にかかる例です.



偏微分の記号は JIS にありますので∂を使うことにします.

本質は redbean さんが書かれているとおりで,
∂r/∂x を計算するとき,何を一定として計算するかの問題です.
通常,独立変数は (x,y) の組,あるいは(r,θ)の組ですから,
x で偏微分するときは y 一定でやるのが常識的です.
つまり,r = √(x^2 + y^2) として,
(1)  ∂r/∂x = x/√(x^2 + y^2) = r cosθ/r = cosθ
です.
一方,r = x/cosθ と考えてθ一定で偏微分すると
(2)  ∂r/∂x = 1/cosθ
となって,(1)(2)では分母分子が逆転してしまいます.

偏微分のときに一定に保った変数を下付で書くのはご存知ですよね.
熱力学でいやと言うほど出てきます.
これを明確に書くなら,
(1)は (∂r/∂x)_y を計算しているのに対し,
(2)は (∂r/∂x)_θ を計算しています.
偏微分の際に一定に保った変数が違うのですから,結果が違っても不思議はありません.

図を描くと状況がもっと明確になります.

     y
   
     │        Q'
     │       /
     │      /
     │     /
     │    P───Q
     │   /
     │  /  R
     │ /
     │/θ
     └────┬───┬─ x
    O     │ dx │

P点から出発して,x を dx だけ増やしたときに,
y 一定ならQ点に行きますが,θ一定ならQ'点に行きます.
このときの r の変化は,
y 一定なら(ほぼ)QR(RはPからOQへの垂線の足,PR がここではうまく描けません),
θ一定なら PQ' です.
△PQQ' と △QRP は相似ですから,QR:PQ = PQ:PQ' = cosθ:1,
すなわち,PQ'/QR = 1/cos^2 θ です.
この因子がちょうど(1)(2)で cos^2 θ倍違うことに相当しています.
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この回答へのお礼

redbeanさんに加えて,さらに具体的な図を使った説明非常にわかりやすかったです,これからもよろしくお願いします。

お礼日時:2001/11/04 22:37

∂r/∂x の意味は、x (およびその他)を独立変数、


r を従属変数としたとき、r を x で偏微分したもの、
ということです。

x=rcosθ は r ,θを独立変数、x を従属変数とする
x(r,θ)=rcosθ の意味です。

これを
r=x(r,θ)/cosθ
と書き換えてみたところで、x が独立変数になるわけ
ではありませんから、このまま ∂r/∂x を求めることは
できません。r=r(x,y) の関数形を明らかにすることが
先になります。
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この回答へのお礼

核心をついた説明ありがとうございます。また,質問をした時は,よろしくおねがいします。

お礼日時:2001/11/04 22:34

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ラプラシアンが、物理的側面から、どのような意味を持つのか想像できません。

ΔA=∇^2 A= div grad A
ラプラシアンが勾配の発散であることは、数学的に理解できます。
また、勾配、発散(湧き出し)はイメージできます。

しかし、勾配の発散のイメージが分かりません。
googleで調べてみましたが、検索方法が悪いのか、理解できるページが見つかりませんでした。
Gooにも該当する質問はないようです。

初歩的な内容で恥じ入るばかりですが、
どなたか、「勾配の発散のイメージ」をご教授ください。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>gradならば、「坂道の勾配」などで説明されると思うのですが、そのようなイメージ的なニュアンスで…。

いい線行っているのではないでしょうか?
勾配というのは,要するに傾きですよね。発散場のベクトルは最大勾配を下る向き。山をちょろちょろ下る水の流れのようなものです。「ちょろちょろ」でなくてはなりませんが,イメージとしては十分。
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Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
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fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
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だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
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となっています。
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  z → z  長さ→長さ

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先端の動きは r dθ です。
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つまり、
  ∇=(∂/∂x, ∂/∂y,   ∂/∂z)
  ∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)


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Q∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}

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ですが、コンパイルができません。
TeXのほかに何かインストールしなければならないらしいのですが、何かわかりません!!
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回答よろしくお願いします!!

Aベストアンサー

ご参考になるかどうか,分かりませんが,下記のサイトをご紹介します.

● TeX を取得できるサイト:
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/texinst98.html

http://www.iterasi.net/openviewer.aspx?sqrlitid=tb8dveicleorxfkraj8uzg

● 日本語TeXのインストールのチェック
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/tex_instchk.html

● dviout
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/dviouttips.html

http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/dviout-ftp.html

● 『[改訂版]LaTeX2e 美文書作成入門』
http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/texfaq/bibun2e.html

● 大島利雄氏サイト
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/ftp-j.html

●  TeX Q & A
http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/texfaq/qa

「TeX Q & A」は, TeX に関する諸々のQAを扱い,
ほとんどの質問に専門家などの方々が回答を寄せてくれます.

参考URL:http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/texinst98.html

ご参考になるかどうか,分かりませんが,下記のサイトをご紹介します.

● TeX を取得できるサイト:
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/texinst98.html

http://www.iterasi.net/openviewer.aspx?sqrlitid=tb8dveicleorxfkraj8uzg

● 日本語TeXのインストールのチェック
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/tex_instchk.html

● dviout
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/dviouttips.html

http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/dviout-ftp.html

● 『[改訂版]LaTeX2e 美文書作成入門』
http://oku.ed...続きを読む

Q「(5x+3)^10でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値」と「x+y=1を満たす全x,yに対してax^2+2bxy+by^2

こんにちは。識者の皆様、宜しくお願い致します。

[問1] (5x+3)^10の展開式でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値を求めよ。
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p=10-kの時(k=10-pの時)
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a:b=pC(10-p) 5^p 3^(10-p):(1+p)C(9-p) 5^(1+p) 3^(9-p)
で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
23p^3-199p+218=0
となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
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[2の解]
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どうすれば対称式で表せるのでしょうか?

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 (1)Cをばらして比を簡略化するところで計算間違いがありそうな気がします。その経過をもう少し詳しく書いてもらえませんか?
 (2)a,b,cを求めるにはまず、x+y=1 を満たすすべての(x,y)で成り立つのですから、x+y=1を満たす(x,y)をまず代入してみてはどうでしょうか。候補としては、(1,0)(0,1)(2,-1)など。
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ただし、この放物線はxからx3の間隔の8:2の場所に頂点(x2,y2)が
あること。 です。

すなわち・・・
(x,y)が(0,50)で(x3,y3)が(100,25)なら 頂点(x2,y2)は(80,?)に
あるグラフです。

そもそも、こんなグラフを式でかけるんでしょうか?
かけるとしたらどんな式で書けばいいのか教えてください。

条件としては
必ず x<=x3 , y>=y3 , xとx3の間隔は最低100です。

いろいろ参考書とか見てみたのですが、ギブアップです。
お助けください。

Aベストアンサー

>(x,y)が(0,50)で(x3,y3)が(100,25)なら 頂点(x2,y2)は(80,?)にあるグラフです。......

頂点とは、放物線とその対称軸との交点だとしましょう。
また、放物線の回転を許容します。

試している暇が無いので、筋書きだけ。

(1) (0,50) と (100,25) を結ぶ線分に、その中点で直交する直線 Lc を引く。
(2) 直線 Lc と直線 x=80 の交点を求める。そこを放物線の頂点 Pc とする。(交点が存在しないことあり)
(3) (0,50), (100,25), Pc を通る放物線が所望の放物線。

あとはフォローして。

QtexでText line contains an invalid characterというエラーがやたら出る

先日OS(windowsXP)を入れなおして、texを入れました。
OSを入れなおす前と同様にやったようにやったのですが、
変なエラーがやたらでてきます。
\documentclass[a4paper,12pt]{jarticle}
\usepackage[dviout]{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\textheight}{23cm}
\setlength{\topmargin}{-1cm}
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\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\makeatletter
\newcommand{\figcaption}[1]{\def\@captype{figure}\caption{#1}}
\newcommand{\tblcaption}[1]{\def\@captype{table}\caption{#1}}
\makeatother

\begin{document}

文章

\end{document}

これで、
tex文書 1.tex(101): エラー: ! Illegal unit of measure (pt inserted).
tex文書 1.tex(101): エラー: ! LaTeX Error: Missing \begin{document}.
tex文書 1.tex(101): Overfull \hbox (14.70819pt too wide) in paragraph at lines 101--289
tex文書 1.tex(624): エラー: ! Text line contains an invalid
            省略
tex文書 1.tex(639): エラー: ! Text line contains an invalid character.
tex文書 1.tex(2): エラー: ! File ended while scanning use of \@argdef.

というように書いてない部分でエラーが出てしまいます。
\begin{document}より上の部分は以前使っていたものをそのまま使って
います。この部分を消しても変わりませんでした。
どうしたらエラーをなくせるか教えてください。
よろしくお願いします。

先日OS(windowsXP)を入れなおして、texを入れました。
OSを入れなおす前と同様にやったようにやったのですが、
変なエラーがやたらでてきます。
\documentclass[a4paper,12pt]{jarticle}
\usepackage[dviout]{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\textheight}{23cm}
\setlength{\topmargin}{-1cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\makeatletter
\newcommand{\figcaption}[1]{\def\@captype{figure}\caption{#1}}
\newcomm...続きを読む

Aベストアンサー

コンパイルにWinShellを使っていると思います。
WinShellの設定が日本語用にされていないので、英語版のlatex.exeが
動き、エラーが出ていると思います。
一度、WinShellの設定を確認してみてください。

Qx>0,y>0,z>0 で、x^2+y^2+z^2=a^2のとき、

x>0,y>0,z>0 で、x^2+y^2+z^2=a^2のとき、
xy+yz+zxの最大値を求めよ。

コーシーシュワルツの不等式を使うとでるとおもうが、
別解での解答はどうなるのか。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どういう風にシュワルツを使うのか。。。。。w
そんな仰々しいものを持ち出さなくても、教科書に載ってる不等式(絶対不等式)で用が足りる。



x、y、zは実数から、x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx で終わり。
等号は、x>0,y>0,z>0から、x=y=z=a/√3の時。


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