ベクトルの問題がわかりません。
とても急いでいるので協力してください。

三点ABCの定点Oに関する位置ベクトルをベクトルa,ベクトルb、ベクトルcが、
ベクトルa+ベクトルb+ベクトルc=0ベクトル
それぞれのベクトルの大きさは等しい。(キ0)
このとき三角形ABCはどのような形になるか。

という問題です。
答えは正三角形なんですけど、ベクトルを用いて解くことができません。
お願いします。

 

A 回答 (3件)

<エレガントに解きましょう>


三角形の形を求めればいいので
|→a|=|→b|=|→c|=1,→a=(1,0,0)
としても一般性は失われない
今、→a+→b+→c=0より
→b+→c=(-1,0,0)・・・(1)
両辺を2乗すると
|→b|^2+|→c|^2+2|→b||→c|cos∠BOC=1+0+0
よって
1+1+2cos∠BOC=1
cos∠BOC=-1/2 つまり∠BOC=120°
今A,B,Cは半径1の円周にあるので
∠BAC=(1/2)∠BOC=60°・・・(2)

また(1)より→bと→cのy成分の絶対値は等しいので
∠BOA=∠COA
これと(2)よりΔABCは正三角形になる (証明終)
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この回答へのお礼

ほんとにエレガントでびっくりしました。
こーゆー考え方があるんですねー。
助かりました。
なんか、ベクトル面白くなってきました。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/11/21 14:01

ABベクトル、BCベクトル、CAベクトルの大きさが全部同じであることを示せばよいので、


(1)|AB|^2=|b-a|^2=|b|^2+|a|^2-2a・b
(2)|BC|^2=|c-b|^2=|c|^2+|b|^2-2b・c
(3)|CA|^2=|c-a|^2=|a|^2+|c|^2-2c・a
(1)=(2)=(3)を示せばよいことになります。

題意より|a|=|b|=|c|なので結局、
a・b = b・c = c・a
を示せばよいことになります。そこで、
|a|^2=|-b-c|^2=|b|^2+|c|^2+2b・c
変形して
b・c=(|a|^2-|b|^2-|c|^2)/2

|a|^2=|b|^2=|c|^2 = K とおくと

b・c=-K/2

|b|^2 と |c|^2 でも同じ計算をして

c・a=-K/2
a・b=-K/2

よって a・b = b・c = c・a
故に(1)=(2)=(3)で三角形ABCは正三角形であると証明できます。
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ヒントだけ。



a + b + c = 0
の式を少し変形して両辺2乗すると、、、
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