E=mc二乗について

今、E2＝|p|2c2+m2c4 (2=二乗、4=四乗)の式の証明を行っているの高校生の者ですが、E=mc2の証明でつまづいてしまいました。
E=mc2を高校生が習う数学(私達は数III、Cまで習いました。）の範囲での求め方を教えていただけませんか？

No.2 ベストアンサー 回答者： shiara 回答日時： 2005/10/23 00:36

　エネルギーと運動量の関係から求められます。

エネルギー(の増加分)ΔEは、力fと移動距離Δsの積ですから、ΔE＝f・Δs。一方力fは運動量Pの時間微分ですから、f＝dP/dt。この2式からdE/dt＝dP/dt・vが得られます(vは速度)。運動量Pは質量mと速度vの積ですから、結局、次の式が得られます。
dE/dt＝d(mv)/dt・v　
さて、ここで質量mが定数として、Eをvの関数として求めると(微分方程式を解くと)、E＝1/2・mv^2が得られます。一方、相対性理論では、質量mは速度vの関数で、m＝m0/√(1-v^2/c^2)で与えられます(m0は静止質量)。これを上の式に入れて、微分方程式を解くと、E＝mc^2が求まります。

No.3 回答者： d9win 回答日時： 2005/10/25 06:09

質量に光速の二乗を掛けるとエネルギーになるのは不思議ですね。

このE=m c^2の式は、数学でいう公理にあたるもので、証明するしないの範疇外にあると思います。論理によって導かれるものでなく、そう考えた方が物理的にもっともらしいという新しい考え方の提言だったのです。
どう考えたら、もっともらしいかというと、2003年3月の本欄の質問「なんでE=mc^2？？」に、私の回答があります。"自信あり"を付けたのは、Einsteinの行った説明を孫引きしたものだからです。その中の「光子はh/λの運動量を有する」という点にひっかかるかもしれませんが、計算は四則演算です。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=490521

No.1 回答者： Teleskope 回答日時： 2005/10/22 23:44

　

　
　高校ですか‥

E = √( m^2c^4＋p^2c^2 )
　 = √(m^2C^4(1＋p^2/(m^2c^2)))
　 = mc^2 √{ 1＋p^2/(m^2c^2) }
　 = mc^2 {1＋p^2/(m^2c^2)}^1/2

テイラー展開とかマクローリン展開
　　1>>xのとき、
　　(1＋x)^a≒1＋ax

E ≒ mc^2 {1＋(1/2)p^2/(m^2c^2) }
　= mc^2＋(1/2)p^2/m

　運動量 p = mV とすると、

　= mc^2＋(1/2)mV^2
　= 静止エネルギ＋運動エネルギ