同じ母集団からの抜取検査で

LOT1 平均値=17 σ=3
LOT2 平均値=18 σ=2
LOT3 平均値=19 σ=2

各LOTのN=10

の時の母集団のσはどのように計算すればいいのですか?

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A 回答 (1件)

LOTが全て同じ母集団からとられたとすれば、平均値および標準偏差は同じはずです。



Lot1=(x11,x12,...,x110)
Lot2=(x21,x22,...,x210)
Lot3=(x31,x32,...,x310)
と書くすれば、Lot1の平均値と分散は
17 = 1/10 Σx1i
3^2 = 1/(10-1) Σ(x1i-17)^2
と書けるはずです。

ところで全体の平均値は 18 になりますから、
Σ(x1i-17)^2 = Σ(x1i-18+1)^2
= Σ(x1i-18)^2 + 2Σ(x1i-18) + 10
= Σ(x1i-18)^2 + 2Σx1i - 2*180 + 10
= Σ(x1i-18)^2 + 2*170 - 2*180 +10
= Σ(x1i-18)^2 - 10 = 9*9 = 81
なので
Σ(x1i-18)^2 = 91
になります。同様に考えれば
Σ(x2i-18)^2 = 36
Σ(x3i-18)^2 = 46
となりますので、母分散の分散の不偏推定量は
1/(30-1){Σ(x1i-18)^2 + Σ(x2i-18)^2 + Σ(x3i-18)^2} = 1/29 (91+36+46)
= 173/29
となります。したがって母集団の標準偏差は 2.5 を少し下回る程度になります。
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この回答へのお礼

大変助かりました。有り難うございました。、

お礼日時:2005/10/30 21:49

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Q正規母集団でないときの標本平均と標本分散の独立性

こんにちは。

正規母集団であるとき、標本平均と標本分散の分布が独立であることは、直交変換によって証明することができますが、

非正規母集団であるときは、標本平均と標本分散の独立性は必ずしも成り立たないということでよろしいでしょうか。

また、正規分布以外の分布で、標本平均と標本分散が独立であるような母集団分布をご存知であれば教えて頂きたいのですが。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

No.1です。
2次のモーメントが収束する分布ならとりあえずなんでもOKなのではと思いますが。
独立に同一の分布に従うX_iでは、任意のiについて
E(X_i) = μ (共通)
V(X_i) = σ^2 (共通)
Cov (X_i, X_j) = 0 (i≠j)
なので、正規分布で直交変換を使った証明をしたのなら、その議論がそのまま使えるのではないかと思います。

Q正規分布でない母集団の母平均の信頼区間

数学を趣味で勉強してます。よろしくお願いします。

質問内容は

正規母集団の母平均は、t分布を使って求められますが
標本を取って行ったら「母集団が正規分布と言えない場合」の
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母集団が正規分布でなくても、
中心極限定理(標本数を大きくしていくと標本平均の確率分布は正規分布に近づく)から
標本数を増やしてt分布使えばいいのかな?と思うのですが、どうでしょうか。

アドバイス、お願いします。

Aベストアンサー

 平均を求める目的は、何ですか。
これを考えれば、正規分布していない集団の平均を求めるのは意味が無いことに気づいて下さい。

>標本数を増やしてt分布
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 が、それでも十分でない場合もあります。以前、日本人(=サンプル数は多い)の平均貯蓄額が700万と発表されたが、中央値の400万の方が実感に近い。すなわち、貯蓄額は個人の考え方に大きく左右されるので(イソップのアリとキリギリス)、正規分布していません。人の意志・意図でかえられる場合は要注意でしょう。

Qf(x)=x^2-2ax+b(-2<=x<=2) 最大値11 最小値2

f(x)=x^2-2ax+b(-2<=x<=2) 最大値11 最小値2 a bの値を求めよ
ただし a>0とする
解答方法を教えて下さい

Aベストアンサー

f(x)=x^2-2ax+b(-2<=x<=2)
f(x)=(x-a)^2-a^2+b

放物線なので、最大値となるのはx=-2かx=2のとき。
f(-2)=4+4a+b
f(2)=4-4a+b
a>0より、f(-2)>f(2)なので最大値となるのはx=-2のとき。

最小値となるのは、
0<a≦2の場合は、x=aのとき。
a>2の場合は、x=2のとき。

あとはそれぞれの連立方程式を解いて、aの条件を満たすものが解となります。

Qモーメント法による母集団の偏差σの推定

X1,X2,...,Xnが独立に正規分布N(0,σ^2)に従うときの母集団の偏差σを推定したいのですが、モーメント法で推定するにはどうすれば良いのでしょうか?

分散σ^2ならS=(1/n-1)Σ(Xi-Xbar)^2の期待値がσ^2になるので簡単なんですが、偏差σはどう推定すれば良いのでしょうか?

お分かりの方、お教え願います。

Aベストアンサー

先ず、質問者さんは一部誤解されているようですので、正しておきます。

> 正規分布N(0,σ^2)に従うときの母集団の偏差σ

σは「偏差」ではなく「標準偏差」です。


> 分散σ^2ならS=(1/n-1)Σ(Xi-Xbar)^2の期待値がσ^2になるので簡単

期待値が母数に一致する推定量は不偏推定量であって、モーメント法の推定量ではありません。


モーメント法による推定とは母集団分布のモーメントの推定量として標本のモーメントを用いることです。これは標本のモーメントが母集団分布のモーメントに確率収束するという事実が根拠になっています。通常、母集団分布のモーメントは母数の関数として表されますから、未知母数の数だけ標本モーメントについて連立させて、それを解いて未知母数の推定量とするものです。

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m = (1/n)ΣXi
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がそのままμとσ^2の推定量になります。従って2番目の式をσ^2の推定量として、σについて解けば、s=√(s^2)がモーメント法による標準偏差の推定量になります。

先ず、質問者さんは一部誤解されているようですので、正しておきます。

> 正規分布N(0,σ^2)に従うときの母集団の偏差σ

σは「偏差」ではなく「標準偏差」です。


> 分散σ^2ならS=(1/n-1)Σ(Xi-Xbar)^2の期待値がσ^2になるので簡単

期待値が母数に一致する推定量は不偏推定量であって、モーメント法の推定量ではありません。


モーメント法による推定とは母集団分布のモーメントの推定量として標本のモーメントを用いることです。これは標本のモーメントが母集団分布のモーメントに確率収束するとい...続きを読む

Q(1,2,3,…,n)の置換σでσ[1]<σ[2]>…<σ[n]などとなったとき

ふとした疑問です。
(1234)を並び替えて、(abcd)となったとします。
a<b<c<dとなるとき、
(1234)で場合の数は1
a<b<c>dとなるとき、
(1243),(1342),(2341)で場合の数は3
a<b>c<dとなるとき、
(1324),(1423),(2314),(2413),(3412)で場合の数は5
以下、対称性を考えると、
a<b>c>dとなる場合の数は3
a>b<c<dとなる場合の数は3
a>b<c>dとなる場合の数は5
a>b>c<dとなる場合の数は3
a>b>c>dとなる場合の数は1
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不等号の組が2進法表示でmとなったときの、場合の数はどうなるのでしょうか?

ふとした疑問です。
(1234)を並び替えて、(abcd)となったとします。
a<b<c<dとなるとき、
(1234)で場合の数は1
a<b<c>dとなるとき、
(1243),(1342),(2341)で場合の数は3
a<b>c<dとなるとき、
(1324),(1423),(2314),(2413),(3412)で場合の数は5
以下、対称性を考えると、
a<b>c>dとなる場合の数は3
a>b<c<dとなる場合の数は3
a>b<c>dとなる場合の数は5
a>b>c<dとなる場合の数は3
a>b>c>dとなる場合の数は1
場合の数の合計は、4!=24です。
以上のことを一般にするとどうなるのでしょうか?
(1,2,3,4...続きを読む

Aベストアンサー

ANo.1の続きです。
同じ事を、行列を使ってキレーに表すこともできる。(説明のない記号はANo.1のものと同じ。)

 R(n, P)をn次元縦ベクトル
N(n,P,1)
N(n,P,2)
  :
N(n,P,n)
とする。従って、
T(n,P)=(1,1,…,1)R(n,P)
が成り立つ。

 L[n]はn+1行n列の行列であって、
0、0、0、…、0、0
1、0、0、…、0、0
1、1、0、…、0、0
:   :   :   :   : 
1、1、1、…、1、0
1、1、1、…、1、1
であるとする。
 U[n]もn+1行n列の行列であって、
1、1、1、…、1、1
0、1、1、…、1、1
0、0、1、…、1、1
:   :   :   :   : 
0、0、0、…、0、1
0、0、0、…、0、0
であるとする。

 そうすると、
R(2,<)=L[1]
R(2,>)=U[1]
R(n, P<)=L[n-1]R(n-1,P)
R(n, P>)=U[n-1]R(n-1,P)
が成り立つ。

 だから、
X(P,j)=(Pの右からj文字目が<のときL[j], >のときU[j])
とすると、
R(n, P)=X(P,n)X(P,n-1)X(P,n-2)…X(P,1)
が成り立つ。
(証明はご自分で。)

ANo.1の続きです。
同じ事を、行列を使ってキレーに表すこともできる。(説明のない記号はANo.1のものと同じ。)

 R(n, P)をn次元縦ベクトル
N(n,P,1)
N(n,P,2)
  :
N(n,P,n)
とする。従って、
T(n,P)=(1,1,…,1)R(n,P)
が成り立つ。

 L[n]はn+1行n列の行列であって、
0、0、0、…、0、0
1、0、0、…、0、0
1、1、0、…、0、0
:   :   :   :   : 
1、1、1、…、1、0
1、1、1、…、1、1
であるとする。
 U[n]もn+1行n列の行列であって、
1、1...続きを読む

Q二項母集団の母比率の区間推定

ベルヌーイ分布Bi(1,p)に従う母集団からn個の標本を得て、標本和がkとなるとき(あるいは二項分布Bi(n,p)に従う二項母集団から標本X=kを得たとき)の母比率pの精密法による区間推定を考えたいのですが、信頼度100(1-ε)の区間推定において、
下側信頼限界n_2/{n_1F_{n_2}^{n_1}(ε/2)+n_2}、
上側信頼限界m_1F_{m_2}^{m_1}(ε/2)/{m_1F_{m_2}^{m_1}(ε/2)+m_2}
で与えられるそうです。ただしF_i^j(ε)は自由度(j,i)のF分布の上側ε点で、n_1=2(n-k+1)、n_2=2(n-k)、m_1=2(k+1)、m_2=2(n-k)です。

なぜF分布により推定できるのかが知りたいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

これも確か、F分布の確率の積分式を部分積分すれば出てきますよ。

Q比率(%) の平均値を算出する場合、算術平均値、幾何平均値、調和平均値のいずれが適切でしょうか。

比率(%) の平均値を算出する場合、
算術平均値、幾何平均値、調和平均値の
いずれが適切でしょうか。

例えば次のデータがある場合、エクセルで各々の
種類の平均値を算出すると求められる答えが
変わってきます。明日までに上司に提出する
レポートで、比率の平均値を記載しなくては、
ならないのですが、いろいろなサイトを調べて
もいまいち自信が持てません。助けて下さい。

ちなみに数値(%)は物流諸掛(ある貿易取引中の
最終確定金額中において、どれくらいの割合、
搬送費用が占めているのか) を表しています。
宜しくお願い致します。

(例)
1.222 %
1.210 %
1.204 %
1.159 %
3.232 %
1.762 %
1.112 %
1.299 %
1.122 %
1.611 %
1.284 %

算術平均 1.474 %
幾何平均 1.396 %
調和平均 1.346 %

Aベストアンサー

これらの率だけからでは意味のある平均は出せません。

すべての種類における最終確定金額に対する搬送費用の割合の
平均値を計算するならば、
すべての種類の搬送費用合計/すべての種類の最終確定金額合計
とする必要があります。

率しか分かっていないと、例えば種類Aの物流が1、種類Bの物流が
1000といったように極端な場合は、単に率の平均をとるのは
意味がないとわかると思います。
すなわち、それぞれの種類の絶対量がわからないといけないと思い
ます。

Q正規母集団の標本平均と標本分散の独立性

X_1,…,X_nを正規母集団から取った大きさnの標本とします。
簡単のため、母集団の平均は0、分散は1と仮定します。

このとき標本平均X=(X_1+…+X_n)/nと
標本(不偏)分散s=((X_1-X)^2+…+(X_n-X)^2)/(n-1)
を考えます。

Xは平均0、分散1/nの正規分布に、
(n-1)sは自由度n-1のχ^2分布に従うと思いますが、
このXとsの独立性の証明はどうやったらよいのでしょうか?

結合分布の計算にX_i^2が混じるので大変に面倒です。
非芯χ^2分布の特性関数の計算などを使うのでしょうか。
方針は立つものの、あまりに煩雑な計算になりそうで尻込みしています。
簡便な計算法をご存知であれば教えていただきたく思います。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

申し訳ありませんが、行列を使って書きます。あと、ちょっと難しめです。

u, v を正規分布に従う平均0の確率変数(スカラー)とします。この2つが独立である条件は、E[uv]=0 であることはご存じだと思います。

今、x=(x1,x2,...,xn)' を標準正規分布に従う確率変数ベクトルとします。したがって、E[x]=0, E[xx']=I です。また、i=(1,..,1)' とします。すると
平均 X = 1/n i'x
分散 s = 1/(n-1) (x-iX)'(x-iX)
と書けることが分かります。ここで
x-X = x - 1/n ii'x
= (I - 1/n ii')x
であり、
(I-1/n ii')'(I-1/n ii') = (I-1/n ii')
であることから
(n-1)s = x'(I-1/n ii')'(I-1/n ii')x
と書くことが出来ます。ここで u=i'x, v=(I-1/n ii')x とおくと、u, v 共に正規分布に従い、
E[uv'] = E[i'xx' (I-1/n ii')']
= i'E[xx'](I-1/n ii')'
= i'(I-1/n ii')' = 0
となるため、u, v は独立であることが分かります。
したがって、独立な確率変数から計算された統計量はやはり独立なので、X と s は独立になります。

申し訳ありませんが、行列を使って書きます。あと、ちょっと難しめです。

u, v を正規分布に従う平均0の確率変数(スカラー)とします。この2つが独立である条件は、E[uv]=0 であることはご存じだと思います。

今、x=(x1,x2,...,xn)' を標準正規分布に従う確率変数ベクトルとします。したがって、E[x]=0, E[xx']=I です。また、i=(1,..,1)' とします。すると
平均 X = 1/n i'x
分散 s = 1/(n-1) (x-iX)'(x-iX)
と書けることが分かります。ここで
x-X = x - 1/n ii'x
= (I - 1/n ii')x
であり、
(I-1...続きを読む

Q正規母集団で母分散未知の場合の母平均を検定する

正規母集団で母分散未知の場合の母平均を検定するのに、t分布を使って次のようにしようと思いますがそれでよろしいでしょうか?

1. ある物体(非常にたくさんある)のパーツA、Bのそれぞれの長さの比が4対1であるように思われた。
2. そこで、この長さの比の平均値μ0(ゼロは添え字)=4と仮定し、さらにこの比が正規分布していると仮定する。
3. n=20の標本をとる。
4. 標本平均を「ラージXバー(以下、単にX_と略記)」、不偏分散をs^2、(sは標準偏差)とするとき次の確率変数Tは自由度n-1のt分布に従う。T=(X_-μ0)/(s/√n)
5. 帰無仮説H0=4、 対立仮説H1≠4
6. 有意水準を5%とします。
7. 両側検定とします。
8. 棄却域は2.093以上、または-2.093以下。
9. 20の標本からX_、s を求めて、Tを計算します。
10. もしT=1.8 ならば、帰無仮説は受容されます・・・等々。

このような進め方でよろしいでしょうか、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

「検定」と「推定」の違いを理解する必要があります。
その状況は、検定ではなくて推定です。

1. ある物体(非常にたくさんある)のパーツA、Bのそれぞれの長さの比が4対1であるように思われた。
2. n=20の標本をとる。
3. 標本平均を「ラージXバー(以下、単にX_と略記)」、不偏分散をs^2、(sは標準偏差)とするとき次の確率変数Tは自由度n-1のt分布に従う。T=(X_-μ0)/(s/√n)
4. 信頼区間を95%とします。
7. 両側信頼区間とします。
8. μ0の推定値の95%信頼区間は、[X_-2.093T X_+2.093T]
9. 20の標本からX_、s を求めて、Tを計算します。
10. 8にしたがって95%信頼区間を計算します。この中に4が含まれているか確かめます・・・等々。

といった感じになるはずです。


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