単位円に内接するN角形があります
 
 その図形のそれぞれの角に中心から補助線を
 引いてN個の三角形に分けそれぞれの面積を
 合計します。

 上の合計をNを使って表したいのです  -疑問1

 そしてその式を
 lim  Nを使って表した式
 n→∞
 とするとその値はπになると思ったのですが
 なぜかなりません            -疑問2


 これはNで表す過程で間違ったのでしょうか
 それとも疑問2の考えかたそのものが間違って
 いるのでしょうか?


 





 下記は私が途中まで考えてだしたNをつかった式です。

 補助線をひいて作った三角形の底辺は
 2sin180/N           -1
 補助線をひいて作った三角形の高さ
 cos180/N            -2

 これらを合計すると
 1×2×1/2×N(個数)=
 sin180/N・cos180/N・N=
 N/2sin360/N

 以下ギブアップです

A 回答 (3件)

まず、limをとるんだから、角度の単位はdegreeではなく、radianで表記すべきです。


よって、S=(N/2)*sin(2π/N)
あとは2π/N=θとおいて、nagataさんのおっしゃる式を用いればOKでしょう。
ちなみにその式の左辺は、f(x)=sinxとおいたときの、lim_{θ→0} {f(θ)-f(0)}/(θ-0)なので、微分の定義よりこれは{ f'(θ)|θ=0 } = cos0 = 1となります。
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N個の三角形を2個の直角三角形に分け、合計2N個の直角三角形を作る。


2N個の直角三角形の各々の中心角はπ/N。
直角三角形の底辺の長さはcos(π/N)、高さはsin(π/N)。
直角三角形の面積は2N×cos(π/N)×sin(π/N)×1/2 = {N×sin(2π/N)}/2。

        ↓

lim {N×sin(2π/N)}/2
N→∞

= lim {sin(2π/N)/(2π/N)}
N→∞

= lim (1/π)
N→∞

= lim π
N→0

= π


途中計算は自分で取り組んでください。
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lim sinθ/θ=1を使えば良いのではないでしょうか。


θ→0

後はN=2π/θと置くとうまく行きます。

上の式が何で成り立つかは忘れました。ごめんなさい。
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