皆様こんにちは。宜しくお願い致します。
[問]
A:={x|xは1以上100以下の自然数}
今、集合Aの部分集合で次の性質を持つものの内、要素の個数が最大のもの(複数の集合が該当するかもしれない)を考える。
(性質)その部分集合から異なる任意の3つの要素を取り出す時、小さい方の和は最大のものに一致しない。
(1) (性質)を満たす部分集合の要素の個数は( )である。
(2) 与えられた性質を満たすAの部分集合の要素の個数の最大値は(1)で答えた数である事を入り法で示せ。
いろいろと考えたのですが頓挫してしまいました。うーん、、、
(1)は{50,51,…,100}だと推測(?)するのですがどのようにして求めれるのでしょうか?
No.1
- 回答日時:
問題文に背理法を使え、というのがあるんですから、その方針で考えるのがよさそうですね。
とりあえずは、ヒントを。(不明な点は補足してください)
条件を満たし、要素が52個以上であるようなAの部分集合Bが存在すると仮定します。
Bから、異なる52個の自然数を任意に取り出します。
小さい方から順に、n_1<n_2<n_3<・・・<n_52としましょう。
自然数i(2≦i≦52)に対してm_i=n_i-n_1という51個の自然数が作れますよ。このm_iについて考えてみてください。
No.2
- 回答日時:
>うーん、所で(1)はどうやって求めれるのでしょうか?
(2)が、「(1)が正しいことを証明せよ」という問題になっていることから分かると思うのですが、
(1)の段階では、厳密に最大個数がいくつか、という事を聞いているのではありません。(その答えが最大値である事の証明を求めているのではのではない)
単に、
>(1)は{50,51,…,100}だと推測(?)するのですが
のような予想をしてくれ、と要求しているんですね。(その予想が正しいことは(2)で証明する)
まぁ、要するに、(1)は、
「与えられた性質を満たすAの部分集合の要素の個数の最大値を求めよ」という問題を、「最大値を予想→その予想が正しいことを証明」という順番に解け、という『誘導』ですかね。(この誘導がなくても、こういう解き方をする事になると思いますが)
最大値は51個ではないか、という予想がたったのですから、あとは、(2)で、その事を証明するだけですね。
この回答への補足
ご回答大変に有り難うございます。
> まぁ、要するに、(1)は、
>「与えられた性質を満たすAの部分集合の要素の個数の最大値を求めよ」という問題を、「最大値を予想→その予想が正しいことを証明」という順番に解け、という『誘導』ですかね。(この誘導がなくても、こういう解き方をする事になると思いますが)
納得です。
> 条件を満たし、要素が52個以上であるようなAの部分集合Bが存在すると仮定します。
> Bから、異なる52個の自然数を任意に取り出します。
> 小さい方から順に、n_1<n_2<n_3<・・・<n_52としましょう。
> 自然数i(2≦i≦52)に対してm_i=n_i-n_1という51個の自然数が作れますよ。
> このm_iについて考えてみてください。
(1≦)m_2<m_3<…<m_52(<100)
という構図になりますよね。
うーん、これから何らかの矛盾が発生する筈なんですよね。
う、うーん、これからどういう矛盾が発生するのでしょうか???
お手数お掛けしましてスイマセン。
No.3
- 回答日時:
どういう矛盾が発生するのかというと、
C={m_i=n_i-n_1|2≦i≦52}
とおくと、
B∪Cは、Aの部分集合です。
B∪Cの要素の数を実際に数えてみると、102個以上である事が分かります。
Aの部分集合B∪Cの要素の数>Aの要素の数(100個)
となるのは、矛盾ですよね。
「B∪CがAの部分集合である」という事は、
>(1≦)m_2<m_3<…<m_52(<100)
この辺りとBの定義から分かるはずです。
そして、B∪Cの要素の数は、
B∩Cの要素の数が分かれば、求める事ができますよね。
Bの定義から、B∩Cの要素の数が高々1つといえます。
(m_i+n_1=n_iが成り立つことと、Bの性質から分かる)
この回答への補足
ご回答大変有り難うございます。m(_ _)m
> どういう矛盾が発生するのかというと、
> C={m_i=n_i-n_1|2≦i≦52}
> とおくと、
> B∪Cは、Aの部分集合です。
> B∪Cの要素の数を実際に数えてみると、102個以上である事が分かります。
(m_j=)n_j-n_1=n_1なる2≦j≦52が存在するか、
全ての2≦j≦52に対してn_j-n_1≠n_1となるか
のどちらかですよね。
よってB∩C={n_1}かB∩C=Φですね。
> Aの部分集合B∪Cの要素の数>Aの要素の数(100個)
>となるのは、矛盾ですよね。
B∩C={n_1}かB∩C=Φより
B∪Cの要素数は(52+50=)102か(52+51=)103ですね。
> 「B∪CがAの部分集合である」という事は、
> (1≦)m_2<m_3<…<m_52(<100)
> この辺りとBの定義から分かるはずです。
C⊂Aを言うには
任意のm_p,m_q,m_r∈{m_2,m_3,…,m_52}(2≦p<q<r≦52)に対して
m_r≠m_p+m_qが成立する筈なんですよね。。。
これは簡単に言えますかね?
一応、自分なりに考えて、、、
もし、m_r=m_p+m_qなるm_rが存在したと否定してみるとこの等式は
n_r-n_1=n_p-n_1+n_q-n_1と書け、
n_r-n_p=n_q-n_1
となり、、、????
うーん、また行き詰まってしまいました。。。
ここからどう導き出せますでしょうか?
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
>(m_j=)n_j-n_1=n_1なる2≦j≦52が存在するか、
>全ての2≦j≦52に対してn_j-n_1≠n_1となるか
>のどちらかですよね。
>よってB∩C={n_1}かB∩C=Φですね。
申し分ありません。全く、その通りです。
>B∪Cの要素数は(52+50=)102か(52+51=)103ですね。
Bの要素が52個の場合に、矛盾する事を言えば十分ですので(Bの要素が52個より多ければ、その部分集合を考えればいいから)、それでOKですね。
(なお、#1、#3では、Bの要素が52個以上の場合を想定していたので、「Bから異なる52個の元を取り出す」とか「102個以上」という書き方をしています)
>C⊂Aを言うには
>任意のm_p,m_q,m_r∈{m_2,m_3,…,m_52}(2≦p<q<r≦52)に対して
>m_r≠m_p+m_qが成立する筈なんですよね。。。
あ~、#3で「この辺りと『Bの定義』から分かるはずです」なんて書かない方がよかったかもな・・・。すいません。
その条件は、C⊂Bが成り立つための条件ですよね。
(もちろん、C⊂Bが証明できれば、それはそれで矛盾が生じますが・・・)
C⊂Aが成り立つには、任意のCの元mに対して、m∈Aが成り立つ事を言えばいいですよね。
Aの定義は、
A:={x|xは1以上100以下の自然数}
でしたから、結局、Cの元mに対して、「mが1以上100以下の自然数である」が成り立つ事を言えばいいんです。
>(1≦)m_2<m_3<…<m_52(<100)
から直ちに分かると思います。
そして、B⊂Aも成り立つので(←Bの定義はここで使うw)、(B∪C)⊂Aが成り立ちますよね。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 高校 急用で出れなかった授業のレポートの回答を解説して欲しいです !! (問)次の集合の要素の個数 n(A 1 2022/04/27 22:41
- 数学 順序集合における「反射律」の役割について 9 2022/05/09 23:01
- 数学 数学の複素数の証明問題です。 (1)複素数全体の集合に2要素間の実数と同様な大小を定義できないことを 2 2022/08/28 11:17
- C言語・C++・C# c言語の問題です 3 2023/01/10 16:15
- その他(教育・科学・学問) 関数、写像について 1 2022/04/10 23:45
- 数学 分母を810,分子を1から809までの整数とする分数の集合{1/810,2/810,…,809/81 3 2022/06/18 10:29
- 数学 急用で出れなかった授業のレポートの回答を解説して欲しいです !! (問)次の集合の要素の個数 n(A 1 2022/04/27 21:20
- 数学 問題の解説と回答をお願いします┏● 2つの集合A={2,5,6,7,8}とB={5,7,8}について 1 2022/04/27 23:12
- 数学 【 数I 集合の要素の個数 】 問題 1から100までの整数のうち,6と8の少 なくとも一方で割り切 2 2022/07/18 12:51
- 数学 問題の解説と回答をお願いします !! 2つの集合A={1,2,3,4,6,8,9,10}とB={2, 1 2022/04/27 23:19
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
有理数と無理数が無限個あること
-
証明終了の記号。
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
rankに関する証明問題です。
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
無理数って二乗しても有理数に...
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
素数の性質
-
じゃらんで旅行予約をしたので...
-
原始関数の存在性の証明につい...
-
兄弟の子どもの養子縁組は可能...
-
巡回群と巡回群の直積は巡回群?
-
liman=a(n→∞)、limbn=b(n→∞)な...
-
婿養子です、妻と離婚して妻の...
-
大学の二次試験で・・・
-
次元定理以外で
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
数学Aの整数の性質について質問...
-
心霊漫画家で新興宗教団体の教...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
証明終了の記号。
-
婿養子に入ったのに出て行けと...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
素数の積に1を加算すると素数で...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
学割定期を親に買ってきてもら...
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
再婚、奨学金
-
素数の性質
-
なぜ独身だと養子が持てないの...
-
元夫が彼女の存在を隠す理由
-
成人した後両親が離婚し別の人...
-
大学の給付型奨学金について 現...
-
直角三角形の性質
-
通学証明書の契印とは
-
無理数って二乗しても有理数に...
おすすめ情報