仕事で、空間座標系内の円錐と、線分との交点を求める必要に迫られました。
現在手元にある本には載っていません。
どなたか、ご存知の方がおられましたら、是非ご教授願います。

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A 回答 (3件)

原点を頂点、z軸を軸とした、無限に伸びた円錐面は


a(x^2+y^2)-bz^2=0
で表されます。
aとbの比率を変えることで、頂点の角度が変わります。
あとは、無限の範囲を考えるのか、限られた範囲で考えるのか、
円錐の底面は考えるのかといったことで変わってくると思いますが。
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この回答へのお礼

ありがとう御座いました!
大変参考になりました。

お礼日時:2001/12/05 14:59

多少話がずれますが,円錐を平面で切る場合の話が


http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=153849
にあります.
ご参考までに.
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No.1の補足です。


a(x^2+y^2)-bz^2=0
で、a,bは共に正でなくてはなりません。
教科書等では
x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=0
のように書かれることが多いです。
(この場合、aとbが異なると、円錐とはなりません。
楕円錘とは言わないように思いますが。)
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Q変形円錐形の展開図

円錐形の展開図は理解しておりますが、今回教えていただきたいのは「円錐形を真横から見て、底面にたいして平行に切れば高さが小さい円錐形が出来ますが、ある角度をつけて切った時の上方の展開図は、どのように作図すればよろしいのでしょうか?」どうぞよろしくご指導ください。

Aベストアンサー

やりかたは詳しくありませんが、参考URLの問題14をヒントにすれば
できそうですが、どうでしょうか?

参考URL:http://www.ai-link.ne.jp/free/learning/kouza/14/answer/answer-p3.htm

Q2つの線分に垂直な線分の交点

2次元平面に点P(x0,y0)、点A(x1,y1)、点B(x2,y2)があり、
点Aを通る線分PAに垂直な線分と
点Bを通る線分PBに垂直な線分の交点の
求め方を教えて下さい。

垂直ベクトルを求め、任意に座標を決めて
連立方程式を解くやり方だと上手くいかない時が
あります。シンプルに求める方法がありましたら
教えて下さい。

Aベストアンサー

 「~垂直な線分」は「~垂直な直線」の意味と解釈しますね。
 交点が存在するには、点P,A,Bが同一直線上に無いこと。従って、同一直線上にある場合は除外します。
 また、線分PAと線分PBが直行する場合は、点P,A,Bと交点で長方形が構成されるので特殊な場合として、置いておきます(答えは簡単にでますね)。
 では、上記の2つの場合以外のときには、P点を原点とし横軸(X軸)上にA点が位置するような座標(X、Y)を考えて、座標変換してはいかがなものでしょうか。新しい座標(X、Y)上でのPBに垂直な直線そのものが交点の座標を示すことになりませんか。

Q円錐の展開図を教えていただきたいです。

円錐にまくシールを製作しなければならないのですが展開図がわかりません。
OKWAVEで過去の質問欄を確認し計算の上製作したのですが計算が間違っているのか
うまく出来ません。。。展開図を教えていただきたいです。

台形にカットされた円錐
円錐の底はΦ161mm
円錐の上(カットされた部分)Φ112mm
高さは、183mmです。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

この立体を縦に半割りにした断面を考えると、下底が161、上底が112、高さが183の等脚台形になります。斜めになっている二本の辺を延長すると二等辺三角形ができますがその頂点は、
183*112/(161-112)+183
だけ下底よりも上にあることになります。この値をhとします。

 次に上記の二等辺三角形の斜辺の長さを求めます。頂点から底辺に垂線を下ろすと合同な直角三角形が二つできます。この直角三角形の辺のうち、直角をはさむ二辺の長さは161/2、および上記のhになるので、三平方の定理より斜辺の長さは
√((161/2)^2+h^2)
となります。これが底の面に対応する母線の長さになります。この値をr1とします。

 次に、上の面に対応する母線の長さを求めます。三角形の相似から、
r1*(h-183)/h
が求める母線の長さになります。この値をr2とします。

 この立体の側面を展開すると、扇子の紙の部分に似た形になりますが、その中心角を求める必要があります。円錐の展開図において側面部分の中心角は
360°*底面の直径/母線の長さ で与えられるので、本問の立体の場合は
360°*161/r1
で求めることができます。この値をΘとします。

 以上で各部分の寸法が決まったので展開図を作図します。手順としては
(1)中心を共有し、r1およびr2を半径とする二つの円弧を描きます
(2)上記の二つの円弧を中心角Θで切り取ります。
(3)直径が161および112の円を描きます
これらを組み合わせると所望の立体の展開図ができます。ただ、計算の過程で端数が出たり、あるいはシールにして貼り付ける際に密着しなかったりすることもあり得るので、少し大きめに作っておいて貼り付けてから現物合わせでカットする方が無難かもしれません。

この立体を縦に半割りにした断面を考えると、下底が161、上底が112、高さが183の等脚台形になります。斜めになっている二本の辺を延長すると二等辺三角形ができますがその頂点は、
183*112/(161-112)+183
だけ下底よりも上にあることになります。この値をhとします。

 次に上記の二等辺三角形の斜辺の長さを求めます。頂点から底辺に垂線を下ろすと合同な直角三角形が二つできます。この直角三角形の辺のうち、直角をはさむ二辺の長さは161/2、および上記のhになるので、...続きを読む

Q数学orアルゴリズムが得意の方(線分と線分の交点判別)

C言語のアルゴリズムを勉強中です。
線分A(A(x1,y1),B(x2,y2))と線分B(C(x3,y3),D(x4,x4))が交差するかどうかを判別し、交差するのであればその交点P(X,Y)を求める。
また、その交点がどちらか一方の線分上にあるかどうかも判別したいのです。
一番効率よくやるにはどのようにすればよいでしょうか。
例えば
1、三角形の符号付き面積を使って交差するかどうかと各点が線分上にあるかどうかを判別し、その後交点を求める
2、とり合えず交点を求めてその交点が各線分内(上)にあるかどうかを判別

他にもたくさんありそうですがとにかく出来るだけ計算回数を減らしたいのです。(さっき求めた~~を~~するといったかんじで)

出来れば流れ全体を書いていただきたいのですが書き込むのが大変だと思うのでせめて使う判別式だけでも教えてください。
これが出来たら、
多角形と多角形の交点判別のアルゴリズムにも挑戦しようと思っています。

数学の得意な方、アルゴリズムを考えるのが好きな方
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

No.4,5のhogehoge2です。何度もすみません。
間違っていましたので、訂正いたします。

次の部分を
----------------------------------------
(2)
 det==0のとき(3)へ
 その他(else)のとき(6)へ

(3)
 y1==y2のとき(4)へ
 その他のとき(5)へ
----------------------------------------


次のようにご訂正ください。
----------------------------------------
(2)
 det==0のとき(3)'へ
 その他(else)のとき(6)へ

(3)'
 (x3-x1)*(y4-y1)-(y3-y1)*(x4-x1)==0のとき(3)へ
 その他のとき 線分AB、CDは共有点をもたない。

関数の終り

(3)
 x1==x2のとき(4)へ
 その他のとき(5)へ
----------------------------------------


以上

No.4,5のhogehoge2です。何度もすみません。
間違っていましたので、訂正いたします。

次の部分を
----------------------------------------
(2)
 det==0のとき(3)へ
 その他(else)のとき(6)へ

(3)
 y1==y2のとき(4)へ
 その他のとき(5)へ
----------------------------------------


次のようにご訂正ください。
----------------------------------------
(2)
 det==0のとき(3)'へ
 その他(else)のとき(6)へ

(3)'
 (x3-x1)*(y4-y1)-(y3-y1)*(x4-x1)==0のとき(3)へ
 その他...続きを読む

Q円錐の展開図

主婦です。図形のわかる方教えてください。

円錐にぐるりと張るシール(平面)を制作しなければいけません。展開図を教えてください。

台形にカットされた円錐なのですが(頂点部分がない)
円錐の底は、Φ38mm、円錐の上(カットされた部分)は、Φ26mm高さは、14.5mmです。

素人考えで、図にして求めていくとΦ62mmとΦ91mmを重ねた図かな・・・?と思うのですが、角度はいっい・・・・?

お願いします。

Aベストアンサー

まず円錐台の上の消えた部分を再現して円錐にします。
消えた部分の高さをxとして

x:(x+14.5)=26:38
これを解くとxは約31.4
円錐の高さは31.4+14.5=45.9
およそ46mmです

ここからが作図です。
Φは直径のことだと思うので
円錐の側線の長さは
√(46^2+19^2)=49.8
およそ50mm
これを半径に円(扇形)を描きます。
(38π/100π)×360°=136.8°
の扇形

これから上の方を切り取ります。
その長さ(半径)は
√(31.4^2+13^2)=33.98
およそ34mm

書いているうちに他の人の回答が出てきて微妙に違って
います。四捨五入や計算を間違えていないか不安ですが
検算をしてから参考にしてください。

Q円錐を底辺に平行な2つの平面P,Qで切断し、高さの等しい円錐Aと円錐台

円錐を底辺に平行な2つの平面P,Qで切断し、高さの等しい円錐Aと円錐台B,Cに分けた。このときBの体積が21cm3であったとすると、Cの体積はいくらか。

解説↓
円錐Aを基準とすると、円錐A+円錐台Bの高さは2倍で底面積は4倍となる。体積は、円錐A:円錐A+円錐台B=1:8となる。円錐Aの体積をxとすると、1:8=x:(x+21)となり、x=3となり、円錐Aの面積は3である。円錐Aを基準とすると、円錐A+円錐台B+円錐台C=1:27となる。円錐台Cの体積をxとすると、1:27=3:(3+1+x)となり、x=57となる。

解説で「円錐A+円錐台Bの高さは2倍で底面積は4倍となる」とあります。相似比を2乗すると面積比なるはずですが、どうして底面積だけ4倍なのでしょうか?円錐A+円錐台Bの面積比が4倍になるではダメなのでしょうか?
どなたか解説お願いします。

Aベストアンサー

>相似比を2乗すると面積比なるはずですが、どうして底面積だけ4倍なのでしょうか?

底面だけ比べても相似だからです。(側面積も同様に4倍です。)

>円錐A+円錐台Bの面積比が4倍になるではダメなのでしょうか?

高さと底面積から体積を求めるので、底面積だけについて述べた方がいいでしょう。

Q円錐台の展開図

円錐台の展開図を描きたいのですが、全く計算が出来ないので、
どなたか代わりに計算していただけいないでしょうか?

希望する円錐台が
上の円の直径が、71mm
下の円の直径が、14.4mm
二辺を結ぶ長さが、70mmです。

何度か同じようなお願いをしていて申し訳ないですが、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

> 「弧長」は各円の弧のことでしょうか?
> そうだとすると、式が二つになるのでしょうか?

そう解釈していいです。
展開図上の円周の一部としての弧を考えてください。

小さいほうの円から円錐の頂点までの距離と、扇形の角度の二つが未知数ですから、方程式二つで未知数が求まります。

Q円の接線と2直線との交点の線分最小距離

[問] 円C: x^2+y^2=1と2直線y=±mx(0<m<1)とのx>0での交点をそれぞれA、Bとする。Pを劣弧AB上の動点とする。
PにおけるCの接線とy=±mとの交点をそれぞれQ,Rとする時、QRの最小値を求めよ。

がいまいちわかりません。
Q,Rを文字で表すと複雑になってしまいます。
何かよい方法がありますでしょうか?

Aベストアンサー

P(cosθ,sinθ)とおけば、PにおけるCの接線の方程式は (sinθ)y+(cosθ)x=1
ただし、-π/4<θ<π/4
これと直線y=±mx(0<m<1)とのx>0での交点は、それぞれ
Q{1/(cosθ+msinθ),m/(cosθ+msinθ)}
R{1/(cosθ-msinθ),-m/(cosθ-msinθ)}
見にくいからcosθ=c ,sinθ=s と書く
(QR)^2={1/(c+ms)-1/(c-ms)}^2+{m/(c+ms)+m/(c-ms)}^2
=4m^2/{c^2-m^2s^2}^2=4m^2/(1-s^2-m^2s^2)^2=4m^2/{(m^2+1)s^2-1)}^2
ここで、QRが最小になるためには、この分母が最大になればよい
つまり(m^2+1)s^2-1 の絶対値が最大になればよい。
0<m<1 と -1/√2<sinθ<1/√2 に注意すると
(m^2+1)s^2-1 の絶対値は sinθ=0 すなわち θ=0 のとき最大1となる。
このとき(QR)^2=4m^2  ,QR=2m

P(cosθ,sinθ)とおけば、PにおけるCの接線の方程式は (sinθ)y+(cosθ)x=1
ただし、-π/4<θ<π/4
これと直線y=±mx(0<m<1)とのx>0での交点は、それぞれ
Q{1/(cosθ+msinθ),m/(cosθ+msinθ)}
R{1/(cosθ-msinθ),-m/(cosθ-msinθ)}
見にくいからcosθ=c ,sinθ=s と書く
(QR)^2={1/(c+ms)-1/(c-ms)}^2+{m/(c+ms)+m/(c-ms)}^2
=4m^2/{c^2-m^2s^2}^2=4m^2/(1-s^2-m^2s^2)^2=4m^2/{(m^2+1)s^2-1)}^2
ここで、QRが最小になるためには、この分母が最大になればよい
つまり(m^2+1)s^2-1 の絶対値が最大になればよい。
...続きを読む

Q偏芯円錐の展開図や楕円の書き方

以前に正円錐の展開図の書き方を回答してもらい解決しましたが
偏芯した円錐の展開図を書く方法、あるいは参考HPなどを教えてください。
たぶん、楕円形になると思うのですが、思えば楕円形をきちんと書く方法も疑問です。
数学は苦手ですのでもしかしたら理解不能かもしれませんがヒントだけでもなれば、できればがんばって身に付けたいと思っています。
製図のジャンルになるのか数学カテなのかどうか分かりません、カテ違いならそれもご指摘ください。

Aベストアンサー

#1です。
別のHPも見つけましたので参考にして下さい。

側面の展開図は頂点と側面の稜線と中心角で作図していくことになりますが、
円錐立体の側面の製図作図法の例がありますので参考URLをみて展開図を作図されたら良いでしょう。
なお、参考URLで製図に使っているソフトは無料のフリーソフトで人気のあるCADソフトです。
ダウンロード先:​www.jwcad.net/index.htm​など。

なお参考URLのpdfファイルはAdobe AcrobatReader(無料ソフト)で開きます。Windows XPのなら最初からインストールされていてIEで開けるようになっていると思います。

参考URL:http://www.ait-sapporo.ac.jp/~shokunou/201_mono/menu/kadai2-2.pdf

Q3次元空間内での線分の交差判定について

はじめまして。
3D関係のプログラムを組む上で、線分同士の判定を行う必要があるのですが
数学の知識が乏しく困っています。

3次元空間内の線分ABとCDが交差しているか判定し、
交差していればその交点を求めたいのです。
2次元の場合はできたのですが、3次元になるとどうやって計算すればよいのか
わかりません。(交差以外に、ねじれの位置関係があるんですよね?)
どなたか教えていただけると助かります。

Aベストアンサー

1)一般に「捩れの位置」になりますから、互いに最短の位置を求める問題に帰着します。a-kumaさんの言われるような連立一次方程式では未知数が2つ、式がx,y,z3つとなるので解けません。2次元ならyosizoさんの言われるように未知数と式の数が2つで簡単に解けます。

2)線分AB、CDの何れかの長さが<ε以下、または、線分AB、CDはほぼ平行ならゼロ割を起こすか答えが求まっても答えの精度が著しく低下します。このチェックも実際のプログラムでは絶対に必要です。

3)で、以下、2)のチェック済みであると仮定して.....。

4)たまたま最近3D-CAD用に作ったもので数式の求めた方を忘れてしまったが、

// t0:AB方向単位ベクトル、t1:CD方向単位ベクトル、として、
// float spd = <t0・t1>即ち、ベクトルt0とt1の内積

float det= spd*spd - 1.0f; // spd:AB方向単位ベクトル
v01 = C - A; //3Dベクトル (C-A)
u0 = (spd*<v01・t1> - <v01・t0>) / det;
u1 = (<v01・t0> - spd*<v01・t1>) / det;

として、パラメータ、u0,u1が求まります。ここに、
u0:AB方向パラメータ、u0=0の時、q0(u0)=Aで、u0はAからの距離を表わす。
■q0(u0)=A+u0*t0...............Equ.1)
u1:CD方向パラメータ、u1=0の時、q1(u1)=Cで、u1はCからの距離を表わす。
■q1(u1)=C+u1*t1...............Equ.2)

これで、捩れの位置に2点求まるのですが、

・2点が距離の許容誤差よりも離れていたら、エラーとする。
・2点が距離の許容誤差以内なら、2点の中点を取る。
・中点がいやなら、重みを掛ける(場合もある)。

この説明で不十分ならあとで補足します。

1)一般に「捩れの位置」になりますから、互いに最短の位置を求める問題に帰着します。a-kumaさんの言われるような連立一次方程式では未知数が2つ、式がx,y,z3つとなるので解けません。2次元ならyosizoさんの言われるように未知数と式の数が2つで簡単に解けます。

2)線分AB、CDの何れかの長さが<ε以下、または、線分AB、CDはほぼ平行ならゼロ割を起こすか答えが求まっても答えの精度が著しく低下します。このチェックも実際のプログラムでは絶対に必要です。

3)で、以下、2)のチェック済みである...続きを読む


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