D:エイチバー
   α:√(mω/D)
   q:αx
1次元調和振動子のn=0の場合の固有関数
 φ0(x)=(mω/πD)^1/4×exp(-q^2/2) 
    =(mω/πD)^1/4×exp(-mωx^2/2D)
を使って
 位置の期待値 <x>=∫x│φ0*│^2 dx
 運動量の期待値 <Px>=∫φ0*(-iDd/dx)φ0 dx
 位置の二乗の期待値 <x^2>=∫x^2│φ0│^2 dx
 運動量の二乗の期待値 <Px^2>=∫φ0*(-iDd/dx)^2φ0 dx
の4つを計算したいのですが、ややこしくて出来ません。
どなたか、計算してみてください。
因みに、答えは『0、0、D/2mω、mωD/2』になる筈です。

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A 回答 (3件)

vortexcore さんの書かれているように


> ややこしくて出来ません
の具体的内容を書かれた方が回答も書きやすいでしょう.

期待値を求める方法はご存知のようですから,あとは積分だけですね.
<x> と <Px> は本質的に

(1)  ∫{-∞~+∞} t exp(-t^2) dt

の計算ですね(t = q/√2).
これは t^2 = z とおけばすぐに計算ができます.
でも,Umada さんご指摘のように,奇関数の{-∞~+∞}積分ですから,
計算するまでもなく答はゼロです.
調和振動子は右に行ったり左に行ったりの繰り返しで,
対称性を考えれば位置も運動量も正の場合と負の場合が同じ確率で現れますから,
期待値はゼロ,というのが物理的意味です.

<x^2> と <Px^2> の期待値の計算では

(2)  ∫{-∞~+∞} exp(-t^2) dt
(3)  ∫{-∞~+∞} t^2 exp(-t^2) dt

の計算が必要です.
(2)は有名な積分(ガウス積分)で √π であることが知られています.

(2')  ∫{-∞~+∞} exp(-t^2) dt = √π

(2')で,t^2 = az^2 とおきますと

(2'')  ∫{-∞~+∞} exp(-az^2) dz = √(π/a)

となり,(2'')の両辺を a で微分してから a=1 とおけば

(3')  ∫{-∞~+∞} z^2 exp(-z^2) dz = (1/2) √π

が得られます.これで(3)の積分は解決.
あとは係数の調整だけですので,
自分で手を動かしてみてください(これが大事です).

Umada さんの言われるように,x と Px の線形結合を使った演算子を用いると
簡単ですが,たしかに概念的にとっつきにくい気はします.

調和振動子では運動エネルギーの期待値とポテンシャルエネルギーの期待値が
等しいこと,および基底状態のエネルギーが (1/2)Dω であること,
を使ってよいなら,

(4)  <Px^2>/2m = (1/4)Dω  (運動エネルギー期待値)
(5)  (k/2) <x^2> = (1/4)Dω    (ポテンシャルエネルギー期待値)

です.k はばね定数で,ω^2 = k/m.
(4)=(5) で,(4)+(5) が(1/2)Dωになっています.
これから簡単に <Px^2> と <x^2> が出ますね.
でも,これは反則かな?

おまけに(2')の導出(よく本に載っています):

(6)  I = ∫{-∞~+∞} exp(-t^2) dt

として

(7)  I^2 = ∫{-∞~+∞} exp(-t^2) dt ×∫{-∞~+∞} exp(-y^2) dy
      = ∫{-∞~+∞} dx∫{-∞~+∞} dy exp{-(x^2+y^2)}
      = ∫{r=0~+∞} ∫{θ=0~2π} exp(-r^2) r dθ dr
      = 2π ∫{r=0~+∞} exp(-r^2) r dr
      = π

から(2')が直ちにわかります.
(7)で2行目から3行目に移るところは,
(x,y) 座標から (r,θ) の極座標に変換しました.
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vortexcoreさんのおっしゃるように、1次元調和振動子の問題の解き方は量子力学の教科書・演習書ならまず大抵載っています。

ですからそれを見るのが早いです。
exp(-x^2)が入っているのが厄介のタネですよね。この形が出てきたら数学公式集の力を遠慮なく借りるべきです。
なお位置と運動量については既に答えの見当も付いていますし、関数の対称性(積分の中身が奇関数)を使えば実際の積分はしなくても答えは0と求められますよね。

もう一つは演算子を用いる方法です。演算子の考え方は最初はとっつきにくいですが、波動関数φn(x)の直交性をうまく使うことで積分は全く行わず、驚くほど簡単に解を求めることができます。教科書の2ページ分くらいの量ですがここではちょっと書き切れませんのでご自身で教科書・演習書を読んでみて下さい。
私がいま手許で調べたのは 小出昭一郎, 基礎物理学選書5A「量子力学(I)」, 裳華房(1969) です。一次元調和振動子で<x^2>を求める例題が載っていました(p. 44)。
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サイエンス社の藤原、岡崎著「演習量子力学」(黄色い本)の37ページに(一般的な場合の)答えがありますので、レポートの答えならここを写せば良いのではないでしょうか。

ただ、教官というのはたいていの参考書はパラパラと読んでるので、丸写しではばれると思いますが。

積分のどの部分が解らないのか書いていただければ、具体的なアドバイスが出てくると思います。
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くじAとBからそれぞれ得られるお金の期待値期待値とはどうなるのですか?
AとBの期待値を比較したときはどうなるのか?
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物理です
x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を
求める問題で重心のx座標を
1/S∮(0→1)x√1-x^2となっているのですが
なぜこうなるのかがよく分かりません
解説お願いします

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重心は、任意の点の周りのモーメントを考えたときに、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」となる点です。

 与えられたのは、半径 1 の 1/4 円の扇型です。その「微小部分」を、x座標を x ~ x+dx の「縦割り」部分にすると、面積は「高さ」が √(1 - x) 、幅が dx ですから
 ΔS = √(1 - x)*dx
です。
 この部分原点回りのモーメントの「腕の長さ」は x ですから、物理的な「力」を考えるために密度を ρ として、モーメントは
  ρ*xΔS = ρ*x√(1 - x)*dx
です。従って、「微小部分の重量のモーメントの総和」は
  ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx    (1)
です。

 これに対して、「全重量が重心位置にある場合のモーメント」は、重心の x 座標を x0 とすると
  ρ*S*x0     (2)

(1)と(2)が等しくなるので
  ρ*S*x0 = ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx

 従って
  x0 = (1/S)∫[0~1] x√(1 - x) dx

 S は 1/4 円なので
   S=(1/4)パイr^2 = パイ/4
ですね。

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 ΔS = √(1 - x)*dx
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Q期待値計算

宝くじの期待値について教えて下さい。
宝くじを連番で10枚買ったときの期待値は30円だと思うのですが、
9枚買ったときの期待値はいくらでしょうか?
(10枚中、1枚の当たり金額は300円)
よろしくお願いいたします。

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>宝くじを連番で10枚買ったときの期待値は30円だと思うのですが、
>(10枚中、1枚の当たり金額は300円)

期待値を誤解して理解されていると思います。
10枚中、1枚の当たり金額は300円とは、限りませんよ!
他の等にあたっている場合もありますしね。

宝くじの期待値について、書かれたサイトを見つけましたので、
参照してみてください。

参考URL:http://www5a.biglobe.ne.jp/~bebeshi/main/mm/m000908.htm

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∫√((a-y)/(y-c_2 ))dy=∫dx

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よろしくお願いします。

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√(a-y)(y-c_2)dy=√{-ac_2-y^2+(a+c_2)y}dy
=√{(a-c_2)^2/4-(y-(a+c_2)/2)^2}dy, A=(a-c_2)/2, B=(a+c_2)/2
=√{A^2-(y-B)^2}dy, y-B=z
=√{A^2-z^2}dz, z=Au, (-1≦u≦1)
=A|A|√(1-u^2)}du, u=sin(t),(-π/2≦t≦π/2)
=A|A|cos^2(t)dt
=(A|A|/2){1+cos(2t)}dt

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置換前の元の変数、定数に戻せばいいですね。

A|A|{arcsin(u)+u√(1-u^2)}=x+C
A|A|{arcsin(z/A)+(z/A)√(1-(z/A)^2)}=x+C
A|A|{arcsin((y-B)/A)+((y-B)/A)√(1-((y-B)/A)^2)}=x+C

後は, A=(a-c_2)/2, B=(a+c_2)/2を代入して整理するだけなので
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どのくらい期待できるかというものを数字に置き換えていると思っていいですか。
または、だいたいこのくらいになるだろうという予想を数値にしていると思うほうですか。

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昨...続きを読む

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同じことを何度も繰り返したとき、1回当たりに期待できる数値と理解しています。

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タイトルの前者の単位は〔m/s〕ですよね
で、後者の単位は〔m〕ですよね

僕は、〔m/s〕を〔m〕に直したいなら〔s〕をかければいいと思ったので
t(V0+at)をしました
けれどそれだと、後者の式の"1/2"が抜けてしまいます
一体この"1/2"がどこから出てきたのかが疑問です

学校の先生に質問しても、積分がどうとやらといっていてよくわかりませんでした

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三角形の公式を利用したときに"1/2"を使うということは分かりました
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時刻"0"から"t"までのt秒間に進んだ距離を考える場合、その中間時刻"t/2"の時の速度で"t"秒間進んだ、と考えましょう。
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{V0+(1/2)at}t=V0t+(1/2)at^2
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これは等加速度運動の場合だから成り立つのであり、常に成り立つわけではありません。
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Q期待値の計算はどのように行うでしょうか?

期待値の計算はどのように行うでしょうか?

あるサイトに載っていたExcelのシートでは、

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またあるサイトのExcelシートでは、

期待値 = 勝率 × 利益 ÷ 損失 - (1 - 勝率)

でした。

またあるサイトでは、

期待値 = 勝率 × 利益 - 損失 × (1 - 勝率)

となっていました。

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どうぞよろしくお願いします。

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一回のトレードに対する期待値={勝率*平均利益-(1-勝率)*平均損失}/トレード回数

となります。

Qハイパスフィルタ回路の入力電圧が(E_0/s + tanθ/s^2)e^(-st_0)とあらわされる過程を説明してほしいです。

過渡現象の問題の解説を読んでいます。
o----C--------------o 
↑       |        ↑ 
e_i       R        e_o
|       |        |
o--------------------o  

ハイパスフィルタ回路の伝達関数が
H(s) = R/(R+1/(sC))とあらわされるのはわかったのですが、入力電圧e_iが、

E_1(s) =(E_0/s + tanθ/s^2)e(-st_0)とあらわされる導出ができません。E_0というのはt=0のときの初期電圧だと思います。
上記導出についてアドバイスいただけますでしょうか。

Aベストアンサー

>E_1(s) = (E_0/s + tanθ/s^2)e(-st_0)

前稿を訂正。
(まったく見当違いをしてました)

e_1(t) は正弦波じゃなくて、ステップ波形に直線波形(傾斜角 = θ)を重畳したものですね。
 ステップ波形のラプラス変換がE_0/s
 直線波形のラプラス変換がtanθ/s^2
 e(-st_0) は時間シフトをかけたことを示す
.... ようです。

Q期待値

白球と赤球がそれぞれ5個ずつ計10個と、白箱て赤箱がそれぞれ5箱ずつ計10箱とがある
10箱の各箱に1球ずつ無作為に入れるとき、箱とその中に入っている球の色が一致している箱の個数の期待値を求めよ


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泥臭く解いてみました。

箱の位置は横並びで、左から白5個、赤5個とします。
この10個の箱に10個の区別できる球を入れる入れ方は
10P10

10箱に入る球の色パターンは数は

1) 白箱に白玉5個、赤箱に赤玉5個 (5C5)^2 = 1 一致個数 10
2) 白箱に白玉4個、赤箱に赤玉4個 (5C4)^2 = 25 一致個数 8
3) 白箱に白玉3個、赤箱に赤玉3個 (5C3)^2 = 100 一致個数 6
4) 白箱に白玉2個、赤箱に赤玉2個 (5C2)^2 = 100 一致個数 4
5) 白箱に白玉1個、赤箱に赤玉1個 (5C1)^2 = 25 一致個数 2
6) 白箱に白玉0個、赤箱に赤玉0個 (5C0)^2 = 1 一致個数 0

1)~6) の各パターンでの場合の数は、赤玉と白玉の位置が決まっているので
赤の入れ方 5P5 X 白の入れ方 5P5 = (5P5)^2

従って期待値は
((5C5)^2・10+(5C4)^2・8+(5C3)^2・6+(5C2)^2・4+(5C1)^2・2+(5C0)^2・0)・(5P5)^2/10P10
=(1260)・5P5/10P5 = 1260 / 252 = 5

計算の具合からして組み合わせでも解けそうですが、各場合の確率が等しいことを
示すのがめんどくさそう。

>同じ色の箱に入るを1、同じ色の箱に入らないを0とすると白球が白箱に入る期待値が1/2だから

何かうまい手があってこの理屈を展開できるような気がするのですが、うまい裏付けが
思いつかないです。不勉強なだけかも(^^;

泥臭く解いてみました。

箱の位置は横並びで、左から白5個、赤5個とします。
この10個の箱に10個の区別できる球を入れる入れ方は
10P10

10箱に入る球の色パターンは数は

1) 白箱に白玉5個、赤箱に赤玉5個 (5C5)^2 = 1 一致個数 10
2) 白箱に白玉4個、赤箱に赤玉4個 (5C4)^2 = 25 一致個数 8
3) 白箱に白玉3個、赤箱に赤玉3個 (5C3)^2 = 100 一致個数 6
4) 白箱に白玉2個、赤箱に赤玉2個 (5C2)^2 = 100 一致個数 4
5) 白箱に白玉1個、赤箱に赤玉1個 (5C1)^2 = 25 一致個数 2
6) 白箱に白玉0個、赤箱に赤玉...続きを読む

Q加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /dt^2

加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)
という公式があったのですが、(d^2 x) /(dt^2)はどうやって出せばよいのでしょうか?
dv/dt のvに
v=dx/dt
を代入すると
a=(d^2 x) /(d^2 t^2)
になってしまいます。
計算がまちがっているのでしょうか?

Aベストアンサー

微分でわからなくなったら差にして考えてみてください。

速度vというのは、Δtを十分に小さい量として

v(t) = [ x(t+Δt)-x(t) ]/[ (t+Δt)-t ] = Δx(t)/Δt

ですね。同じようにして加速度a(t)は

a(t) = [ v(t+Δt)-v(t) ]/[ (t+Δt)-t ] = Δv(t)/Δt

ですが、v(t)に上の結果を使うと

a(t) = Δv(t)/Δt = Δ[Δx(t)/Δt]/Δt = Δ[Δx(t)]/(Δt)^2

です。

微分というのはΔt→0の極限を取ったときにΔをdと書くという
約束になっているというだけのことなので、

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)

は間違いで、本当は

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt)^2

という意味です。

また、

a=(d^2 x) /(d^2 t^2)

も間違いです。こう書いてしまうと分母はΔ(Δt^2)という意味になってしまいます。


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