機械力学の問題です。 全体的にどう答えたらいいか分からないので教えていただきたいです。

機械力学の問題です。
全体的にどう答えたらいいか分からないので教えていただきたいです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/13 10:58

「x」を「ばねが自然長のときの円板中心の位置」として「定数」にするのは図と合わないので、

「x を、ばねが自然長のときを原点とした円板中心の水平方向の座標（右方向を正）」として考えます。

そうすれば、
・ばねの復元力：Fs = -kx
であり、これによって
・円板中心の並進運動
・円板の回転運動
の２つが引き起こされます。ただし、この２つは独立ではなく、摩擦によって円板と床が滑らないので、ばねの中立位置からの回転角度を時計回りに θ とすれば
　x = rθ
の関係になります。

この関係が分かれば解けますよね？

(1) 「円板の慣性モーメント」はちゃんと習って計算できますよね？
↓　参考サイト
http://hooktail.sub.jp/mechanics/inertiaTable1/

(2) エネルギー保存則から、「ばねの弾性エネルギー（これを「ひずみエネルギー」と言っている）」「円板の並進運動エネルギー」「円板の回転運動エネルギー」の関係が書けますよね？
何かの初期値なり、円板中心の最大振幅なりを仮定しないと求まらないと思います。(4) の「X」を使うということかな。

(3)(4) あとは運動方程式から速度、角速度を求ればよい。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/13 18:10

No.1です。

(1) は参照サイトにあるように
　J = (1/2)mr^2　　　①
になります。どうしてそうなるかは、テキストを見るなり、「質点の慣性モーメント」を円板全体で積分するなりしてご自分で納得してください。

(2) 円板中心の速度を v とすると v=dx/dt、ω=dθ/dt=v/r=(1/r)dx/dt で
・並進運動エネルギー：Eg = (1/2)mv^2 = (1/2)m(dx/dt)^2
・回転運動エネルギー：Er = (1/2)Jω^2 = (1/2) * (1/2)mr^2 *(1/r)^2 *v^2 = (1/4)mv^2 = (1/4)m(dx/dt)^2
よって、運動エネルギーは
　T = Eg + Er = (3/4)m(dx/dt)^2　　　②
となります。

(3) ばねの弾性エネルギーは、中立位置からの変位が x のとき
　U = (1/2)kx^2　　　③
です。

(4) 与えられた円板の並進運動の式から、
　v = dx/dt = -X*ω0*sin(ω0*t)
なので、②より
　T = (3/4)m[-X*ω0*sin(ω0*t)]^2 = (3/4)m*X^2*(ω0)^2*sin^2(ω0*t)]
よって、その最大値は sin(ω0*t) = ±1 のときで
　Tmax = (3/4)m*X^2*(ω0)^2　　　④

一方、ばねの弾性エネルギーの最大値は、振幅が最大となるときなので③より
　Umax = (1/2)kX^2

また、エネルギー保存則より、
　T + U = const
となりますが、最大振幅のところでは
　T = 0
　U = Umax = (1/2)kX^2
となるので、const = (1/2)kX^2 で
　T + U = (1/2)kX^2
となります。

これより、U=0 のときには T=Tmax になるので
　Tmax = (1/2)kX^2
ということになります。従って、④より
　(3/4)m*X^2*(ω0)^2 = (1/2)kX^2
ということになり、これから
　(ω0)^2 = 2k/3m
→　ω0 = √(2k/3m)
が求まります。

従って、固有周期は
　T0 = 2パイ/ω0 = 2パイ√(3m/2k)
　

上ではすべて「エネルギ－保存」から解いていますが、運動方程式から解くこともできます。
ばねによる復元力のうち、一部が並進運動に、残りが回転運動に使われるとして、
・並進運動の運動方程式
　F1 = m*(d²x/dt²)
・回転運動の運動方程式
　F2*r = J*(d²θ/dt²)　　　⑤
・力の合計は
　F1 + F2 = -kx　　　　⑥

⑤を J=(1/2)mr^2, θ=x/r を使って書き換えると
　F2*r = (1/2)mr^2 * (1/r)(d²x/dt²)
→　F2 = (1/2)m(d²x/dt²)

これを②に代入して
　(3/2)m(d²x/dt²) = -kx
この微分方程式を解けば、一般解
　x = C1*sin{[√(2k/3m)]t} + C2*cos{[√(2k/3m)]t}
が得られます。
(3) で与えられる式は、これを C1=0, C2=X とおいたものです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
(2)や(3)では微分の形［dx/dt］を答えに混ぜても良いのですね

お礼日時：2019/06/13 20:56

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/13 21:02

No.2です。

＞(2)や(3)では微分の形［dx/dt］を答えに混ぜても良いのですね

よい、悪いではなく、そうしないと表せません。
もちろん、それを「v」に置き換えて表してもよいでしょう。

「どういう書き方が正しい」ということではなく、物理的に正しい内容が書かれていればよいのだと思います。

この回答へのお礼

なるほど、本当にありがとうございます。丁寧な解説でとてもよくわかりました。

お礼日時：2019/06/13 21:40