放物型ポテンシャル中の2粒子の基底状態のエネルギー

1次元放物型ポテンシャルの中の区別できる2粒子(共に質量m)の位置をx₁,x₂とし、この系のハミルトニアンを
H=-(ℏ²/2m)(∂²/∂x₁²+∂²/∂x₂²)+mω²(x₁²+x₂²)/2+mω²α(x₁-x₂)²/4
とすると、これは重心座標X=(x₁+x₂)/2と相対座標r=x₁-x₂を用いて
H=-(ℏ²/2M)∂²/∂X²+Mω²X²/2-(ℏ²/2μ)∂²/∂r²+μω²(1+α)r²/2
(全質量M:=2m, 換算質量μ:=m/2)
と書き変えることができると思いますが、このとき系が安定に存在するための必要十分条件はα>-1ですか？
また、αが系が安定に存在するための条件を満たしているとき、系の基底状態のエネルギーはどのように計算すれば良いですか？
1次元調和振動子の基底状態の規格化された波動関数が
(c/π)^(1/4)*exp(-cx²/2) (cは適当な正定数)
と書けることを使って解いてもよい問題です。
ご回答よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： haruka1026 回答日時： 2017/07/25 17:41

もしや院試の過去問ですか？

必要十分条件は私もそうなりました。
エネルギーはE=Ex+Erと分解して波動関数をxとrの関数の積と考え代入し、それぞれを解きました。この時に与えられた規格化された波動関数を代入してそれぞれでCを求めて最終的にExとErを足し合わせてエネルギーとしました。間違えてたらすみません

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
そうです、過去問です。この年のは個人的に1番と3番の後半が難しいと感じています。
変数分離ですか！すっかりその手を見落としていました。簡単な問題でしたね、ありがとうございます。
ちなみにα>-1すなわちμω²(1+α)r²/2>0だとなぜ系が安定に存在するんですか？

お礼日時：2017/07/26 08:27

No.2 回答者： haruka1026 回答日時： 2017/07/26 22:00

ポテンシャルが力が平衡になる位置で極小になれば安定なので、xとyの二変数関数を偏微分して極値が存在する条件|H|>0から求めました。

間違っていたらすみません
院試頑張りましょうね

この回答へのお礼

なるほど、よくわかりました。わかりやすく回答してくださってありがとうございました。
あなたは私の同期か先輩かわかりませんが、院試頑張ります。同期でしたらお互い頑張りましょう。

お礼日時：2017/07/27 02:33