極限値

次の問題の解き方を教えてください。
lim(x→0) Xsin(1/X)
lim(x→0)1/Xsin(X)
lim(x→0)X^2/3
宜しくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： nasu0911 回答日時： 2002/02/08 17:36

(1)lim(x→0)Xsin(1/X)

x≠0のときにつねに|sin(1/x)|≦1であるから
　　|sin(1/x)|≦|x|→0(x→0)
∴lim(x→0)Xsin(1/X)=0
(2)lim(X→0)1/Xsin(X)
(1/2)sinX<(1/2)X<(1/2)tanXが成り立ちます。(三角形を書いたら分かります）
この各辺を(1/2)sinXで割ると
1<X/sinX<1/cosX
となり、その逆数をとると
1>sinX/X>cosX
これをx→0とするとcosx→0なのではさまれているので
∴　lim(X→0)(sinX/X=1/Xsin(X))→0となります。
(3)lim(x→0)X^2/3
X^2/3=X*√Xだから
∴　lim(x→0)X^2/3=0
どうでしょう。

No.1 回答者： hitomura 回答日時： 2002/02/08 17:34

ヒントだけ書きます。

「…」以下については簡単だと思いますので自分で考えてみてください。

(1)lim(x→0) Xsin(1/X)
x≠0のとき、-1≦sin(1/x)≦1ですから、-|x|≦x*sin(1/x)≦|x|となります。
x→0のとき、-|x|も|x|も…

(2)lim(x→0)1/Xsin(X)
1/Xsin(X)とは1/{x*sin(x)}と考えてよろしいんでしょうか？
x≠0のとき、-1≦sin(x)≦1ですから、-|x|≦x*sin(x)≦|x|となります。
したがって、1/{x*sin(x)}≦-|x|、または、|x|≦1/{x*sin(x)}、となり…

(3)lim(x→0)X^2/3
x^(2/3)={x^(1/3)}^2ですし、x→0のとき、x^(1/3)=(xの立方根)→0です。
これらをあわせると…