テイラーの近似、x=0

こんにちは。テイラーの近似をx＝０のところで求めようとしています。その元となるものが、Arctan(e^(-x))です。一応最初に、e＾(-x)=1-x+x^2/2-.....と求めてから、その後何かをやらないといけないというのは察しがつくのですが、何をどうすればよいかわかりません。もし宜しければ教えてください。
＊一応mathematicaでは、回答は、Pi/4-(Pi/4+1/2)x+....となるようです。

No.1 回答者： michealjagger 回答日時： 2006/05/11 09:46

e＾(-x)=1-x+x^2/2-..... が分かっているので、

Arctan(e^(-x))＝Arctan(1-x+x^2/2-..... )とおけるのですが・・・私もここから分かりません。
一応この後、Arctan(e^(-x))＝Arctan(1-x+x^2/2-..... )＝Arctan(1)-x(1/2)+....となるみたいですが、どうしてこうなるかは分かりません。どなたかご説明願います

No.2 ベストアンサー 回答者： adinat 回答日時： 2006/05/11 11:38

Taylor展開の基本を忘れてやいませんか？Taylor展開とはf[x]をx=x_0において、第k項がf^{(k)}(x-x_0)^k/k!に展開する無限級数のことですから、要するに微分すりゃいいだけです。

今の場合、原点周り。

f[x_]:=ArcTan[Exp[-x]]
としておきます。
f[0]=π/4
だから0次の係数は簡単に求まりますよね。次は1回微分。(Arc[x])'=1/(1+x^2)は高校でもおなじみの逆関数の微分。よって合成関数の微分法から
f'[x]=-Exp[-x]/(1+Exp[-2x])
ですから、
f'[0]=-1
よって1次の係数は-1/2!=-1/2です。あとも同様。MATHEMATICAをお持ちなら、
Derivative[n][f][x]でnに適当な数字を入れればf[x]のn階微分を計算してくれます。あるいは、Derivative[n][f][0]で原点のn階の微係数を出してくれます。もっと直接に
Series[f[x],{x,0,n}]
で第n項までのTaylor展開です。πは第0項にしか出てきませんよ。

あるいは♯1様や質問者様が書かれているように、級数の合成をするのであれば、
ArcTan[x]=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+…
を使ってx→e^(-x)=1-x+x^2/2-.....をぶちこんで、定数項はどこの累乗も1しかでないから、ArcTan[1]=π/4とやって、次に2乗、3乗と求めることも出来なくもないですが、毎回毎回最後に無限級数の和の計算をする必要があって至極面倒です。

とにかくTaylor展開を求めたいときは基本に帰って、関数の微分を計算するのが王道です。

この回答へのお礼

有難うございます。大変分かりやすく、理解できました。

お礼日時：2006/05/11 17:26