X=0.9999・・・がx=1である事を証明するために、
両辺に10をかけ
10x=9.9999・・・としたものから
-) x=0.9999・・・を引くと
--------------------
9x=9
x=1
とする方法がありますが
なぜ、こうなるのか?を中学生にどうやって説明すれば良いのでしょう?教えて下さい。
よろしくお願いします。

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A 回答 (19件中1~10件)

少しわかりずらいかもしれませんが、0.999…の定義は9が無限に続くことです。

もし、1>0.999…だとすると、0.999…の9が1の手前で止まることになります。
そうすると、0.999…の定義が矛盾するので1=0.999…を認めざるを得ません。
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0.9999…=1


実数は連続しているのです。
もし、無限に1に近づいていく左辺が右辺と異なるとすると、そこに穴があいてしまい、連続性の仮定に反する。よって、実数の連続性を保持するためには上記二通りの記述方法をともに等しいとして認める必要がある。
オイラーの贈物という本の受け売りです。
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osafuneさんごめんなさい。



tun様<
56億7千万桁... 弥勒菩薩にとっては大した桁数じゃないですねえ。大きい数に付いては下記URLをまたまたご紹介します。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=21195
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stomachmanさんに紹介してもらって、のぞかせてもらいました。


私も、これには、20年来悩まされているので。
1=0.9999…、をみなさん証明されているのは、よくわかるのですが。
実は、私はこれは違うものなんじゃないか(そう思う方がいっぱいいるから議論になるんでしょ)と思うので、どなたか「これは違う!」って証明をしてもらえないでしょうかね。
だって、1=0.99999… の右辺を56億7千万桁まで計算して、プリントアウトしてごらんなさい。左辺は1で済むのに、右辺は、インクなくなっちゃいますよ。経済的に見ても、イコールじゃないと思うんですが。
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◆Naka◆


何度も失礼します。
stomachmanさん、怒っているだなんてとんでもない。
stomachmanさんの過去の回答も見させていただいていますから、自分よりもはるかに実力のある方だということは認識していますので。 (^o^)

私はイメージ的に「無限」の概念をつかませるのが効果的だと考えたわけでして、目的には大きな差はないと思います。
ただ手段の違いで、stomachmanさんは「数学屋さん」、私は「教育屋」ですから、厳密な意味での「真理」よりも、頭の中でイメージできる「こじつけ」の方を選んでしまうのです。

確かに解法を見て感動するような生徒は、伸びますし、数学の面白さというものを実感できるでしょう。stomachmanさんもそのお一人だったわけですよね??
でもやっぱり全ての中学生に納得してもらえるものでない、という点で、私はイメージの方を取ると思います。

もう一つイメージの例を挙げておきますね。
0.00000000000…=0 を実感させる方法です。
「みんな、声を出して『ア』と言ってごらん。」
「ア!」
「もっと小さい声で」
「ア」
「もっともっと小さい声で」
「ァ」
「もっとだ!」
「.」
「もっともっと…」
「.」
「まだまだ」
「」
・・・・・・
「それでも『声を出している』と言えるかい?」
「言えな~い!」

私のやり方は、一時が万事、こんな感じなんです。 (^o^)丿
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osafuneさんのコメントがこないのをいいことに、勝手に議論しますが...(Nakaさん怒んないでぇー)(^^;


無限小数は、最初に本格的に無限の概念に出会う場。
 (ことに小学校で円周率を「およそ3」で済ませてきたのなら、)初めて無限と避けがたく対面するんですから、いろんな考え方を試してみる事自体が、一番効果的な教育なのかな、と思ってます。
計算が延々と終わらない、ということを実感させてこそ意味があるじゃないかと。
ともかく
「0.999... はきっちり 1 なのっ!ほらっ!9 x = 9 だからっ!憶えなさいっ!!」
てやったら、もったいないな~と。

実はstomachmanもこれ、教室で教えて貰った覚えがあります。クラスの半分ぐらいが、おおー!!と感動し、あとの半分が首をひねった(理解はしたが、納得できん)ように思います。
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皆さん、面白い議論だと思います。


勉強になります。

ところで、質問主の osafune さんの「なぜ」についてですが、
・1/3*3=1
・1-0.9999999...=0.000000....
に蛇足になりますが、
有限な等比数列の和の計算から持っていくのはいかがでしょうか。(0.99999... は無限等比級数)

S = 1 + x + x^2 + x^3 +...+ x^n
-) xS = x + x^2 + x^3 +...+ x^n + x^(n+1)
-----------------------------------------
(1-x)S = 1 - x^(n+1)

「極限」が「存在」することをうやむやにすることになりますが、
この右辺第二項が存在しないことが「無限」であるがゆえであることは、イメージしやすいのではないかと思いますがいかがでしょうか。
有限から無限に持っていけば分かりやすいのではないかと思ったのですが。

でも、多対一の教室では辛いかなぁ。

追伸;
ところで、 1=0.9999999999... は、存在することを認めれば厳密であって、近似ではないんですけどね。
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◆Naka◆


stomachmanさん、その通りですよ。
ですから、私は無限のイメージを与える例として「時間」を挙げたわけです。
不良債権の話はギャグにしておきましょうよ。stomachmanさんだって、私たちの回答を採点しているおつもりではないでしょう??
大事なのはイメージです。
イメージっていうのは、例え話からつかませるのが一番わかりやすいと思います。
その中学生が将来、数学を好きになるためには、「真理をおぼろげにつかませる」ことよりも、「『真理に近いもの』をちゃんと理解させる」方が効果的だと考えています。

まあ、ここで答えを出すのは私たちではなく、osafuneさんであり、中学生なんですが… (^^;)
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Nakaさん、ieyasuさん<


不良債権の話は、単なるギャグじゃないんですよ。

「無限」ならではの、いつまで経っても終わらないプロセス、というつかみ所のないものを、
10 x - x = 9
で一発で処理する所にこそ、数学の醍醐味があります。これを中学生に感じ取らせることは、決してくだらないことではないと思います。
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この回答へのお礼

お礼遅れてすみませんでした。
>で一発で処理する所にこそ、数学の醍醐味があります。
うんうん。そうですよね。
自分が中学生の頃、誰が一番ち○ちんが太いか競争しようとした事があったんですが、誰もメジャーを持っておらず中止になりかけてました。その時ある人物が「定規で直径を測ってそれに3.14をかけたら円周がでる」と発見した奴がいて、無事解決できました。
この時は目からウロコが落ちました。

お礼日時:2001/01/12 20:42

◆Naka◆


再登場です。
なるほど~、stomachmanさん、一本取られました。 (^o^)
損金と不良債権じゃ確かに違いますね。

それじゃあ、その中学生に実際に「1」から「0.999999999999…」を引き算させてみましょう。
「1-0.999999999999999…=0.000000000000000…」
「ほら!0じゃないか!差がないんだから同じ数だ!」
これでいかがでしょう??
ieyasuさんのおっしゃるように、強引に真理を理解させる必要もないでしょう。
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この回答へのお礼

お礼が遅れて申し訳ありません。
>「1-0.999999999999999…=0.000000000000000…」
これ、解り易いですね。参考にさせていただきます。
回答ありがとうございました。

お礼日時:2001/01/12 20:32

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カーショップでハンズフリー?耳に付けて車の中で電話が出来るブルーツース?が売っていた(¥3000~¥7000/1ヶ位)のですが使えるようにするにはどうゆう事をすれば良いのですか?何か契約をするのですか?多分携帯電話を使うのでしょが、ちなみに docomo P902I ブルーツース機能搭載のモデルを使用しています。1.せっかくブルーツース機能があるので利用したい。2.車の中でわざわざ携帯電話を取り出さなくても会話をしたい。(出来れば耳に付けなくても会話が出来るような方法もありますか?)3.料金は発生しますか?4.使用している人は、けっこういますか?(皆さん使っていますか?)ブルーツースについては、これくらいしか知らないけど教えてください。

Aベストアンサー

BlueTooth機器を使用する場合…

まず最初に、「ペアリング」という機器間の認証作業が必要です。
これが出来れば、後はお互いが通信するだけです…が、このペアリングで引っ掛る
方が時々いらっしゃいますので、御気をつけください。
 #私は耳掛けタイプを使用しています。
 #掛かってきた電話を取り出さずに、耳につけた機器のスイッチでオフフック
 #してます。

>1.せっかくブルーツース機能があるので利用したい。
→上記のように、ペアリングさえ正常に出来れば、直ぐに使用できますよ。
 但し、機器にも相性があるようですので、色々評判を検索した方がいいかも
 しれません。

>2.車の中でわざわざ携帯電話を取り出さなくても会話をしたい。(出来れば耳に付けなくても会話が出来るような方法もありますか?)
→機器によります。
 サンバイザーにスピーカ、Aピラーにマイクをセットする様なのを探せば
 出来ると思います。

>3.料金は発生しますか?
→発生しません。
 あくまで、「携帯と機器間の通信」ですから。

>4.使用している人は、けっこういますか?(皆さん使っていますか?)
→私の周りでは、私位ですかね。使用しているのは。
 ただ、前に走っていた時は、時々、耳掛けタイプの機器をつけている人を
 見かけましたけど。
 #最近は車で走ってないので判りにくいですが、普通に、イヤホンの代わりに
 #使用されてる方は多いようですね。(歩いていると、時々見かけます)

尚、P902iは通常の携帯の会話以外に、携帯内部の音楽を再生にもBlueToothが
使用できますので、そういう使い方がしたい場合は、プロファイルに
 ・A2DP
 ・AVRCP
をサポートしている機器を購入されるのがいいかと思います。
 参考:http://bluetoothmaniax.net/wiki.cgi?page=Bluetooth%A5%D8%A5%C3%A5%C9%A5%BB%A5%C3%A5%C8+%A5%E1%A1%BC%A5%AB%A1%BC%B0%EC%CD%F7

BlueTooth機器を使用する場合…

まず最初に、「ペアリング」という機器間の認証作業が必要です。
これが出来れば、後はお互いが通信するだけです…が、このペアリングで引っ掛る
方が時々いらっしゃいますので、御気をつけください。
 #私は耳掛けタイプを使用しています。
 #掛かってきた電話を取り出さずに、耳につけた機器のスイッチでオフフック
 #してます。

>1.せっかくブルーツース機能があるので利用したい。
→上記のように、ペアリングさえ正常に出来れば、直ぐに使用できますよ。
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Qf(2x)=2f(x) の両辺を微分すると 2f'(2x)=2f'(x) となることの証明

f(2x)=2f(x) の両辺を微分するとどうなるか?
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=lim[k→0] 2{f(2x+k)-f(2x)}/k
=2f ' (2x)

Qブルーツース

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dy
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dx

dy dt
―・―
dt dx
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―  =
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―  ―  =
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 dy
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Qブルーツース 単三1本のマウス

はじめまして
都合によりブルーツース 単三1本で動くマウスを探しております。
携帯で使おうと考えておりますが、なかなか単三1本の物はなかなか見つかりません。

ロジクールの物を一つ見つけましたが、結局はUSBのコネクタを1つ使う事になるのでしょうか?
(ブルーツースの受信アダプタが付属しています。)
これを使わず PC本体に内蔵されたブルーツース機能で使えますでしょうか?
http://www.logicool.co.jp/ja-jp/349/6072?WT.ac=ps|6198


単三2本や単四などはあるのですが。
現在は、USBワイヤレスタイプの単三1本(logicool m185)を使っておりますが
PCの買い替えにより、USB端子が2つになり、ブルーツースに変更したいです。

以上 何かあればご紹介ください。

Aベストアンサー

>ロジクールの物を一つ見つけましたが、結局はUSBのコネクタを1つ使う事になるのでしょうか?
必要システム にUSBポートってかかれているものなら不可かと

単3 1本参考
エレコムM-BT1BLシリーズ
http://www2.elecom.co.jp/peripheral/mouse/m-bt1bl/

バファロー
BSMBB10Nシリーズ
http://buffalo.jp/products/catalog/supply/input/mouse/bluetooth/bsmbb10n/

Q「c=10^-10でfは全ての実数で連続でx>0で正値をとる時,∫[c..∞]f(x)dxが収束するならばlim[x→∞]f(x)=0」

「c=10^-10でfは全ての実数で連続でx>0で正値をとる時,
∫[c..∞]f(x)dxが収束するならばlim[x→∞]f(x)=0」
の真偽判定問題です。

偽となる反例として
f(x)が底辺が1/n^2の二等辺三角形の側辺を辿るような
ジグザクの折れ線のグラフ(この時lim[x→∞]f(x)は振動)なら
全二等辺三角形の総和はΣ[n=1..∞]1/2n^2で収束と思ったのですがこれはx>0で正値をとる事に
反してしまいます。
やはり,この命題は真となるのでしょうか?

Aベストアンサー

過去に同じ質問がありました。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3653990.html

Qブルーツースのマウスについて

はじめまして
ご教授お願いします。
先日 ブルーツースのマウスを購入しました。
本マウスを使うことで、USBを無駄にせず(端子使用無しに)、ノートブックを使用できると思っていました。マウスには、ブルーツース用の受信機が付いております。小型の物です。USBに差し込むと自動認識をし、マウスが使用できます。本PCにもブルーツースが内蔵されていますので、USBを使わずに(本受信機を挿入すること無しに)、直接、PC本体のブルーツースで、接続できると思っておりましたが、これは無理なのでしょうか?

因みに各機材は以下です。
PC エイサー1410
マウス ロジテック m185
になります。

以上 ご教授をいただければ幸いです。

Aベストアンサー

> マウス ロジテック m185

上記マウスを購入したと言うことでしょうか?
ならば、勘違いをしてます。

そのマウスは、ワイヤレス(無線)マウスであり、
Bluetooth マウスではありません。

http://www.logitech.com/ja-jp/172/8511

よって、そのマウスを利用するなら、
付属のレシーバーをノートパソコンの USB ポートに接続する必要があります。

Logicool の Bluetooth マウスは下記製品ですので、
Bluetooth 式を利用したいなら、買い直す必要があります。

http://www.logitech.com/ja-jp/mice-pointers/mice/devices/5747

> 以上 ご教授をいただければ幸いです。

細かいところですが、「ご教授」よりは「ご教示」が適切になります。

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む


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