X=0.9999・・・がx=1である事を証明するために、
両辺に10をかけ
10x=9.9999・・・としたものから
-) x=0.9999・・・を引くと
--------------------
9x=9
x=1
とする方法がありますが
なぜ、こうなるのか?を中学生にどうやって説明すれば良いのでしょう?教えて下さい。
よろしくお願いします。

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A 回答 (19件中11~19件)

中学生に、悩んでまで説明する必要があるのでしょうか?


だいたいにして、1/3=0.333333・・・とするのも、
あくまでも近似値であり、決して「=」ではないのでは?
「≒」だったと。。。。
私は、理系で国立大を卒業しましたが、
1/3=0.3333333・・・・・ だとは思ったことはなく、
それでもちゃんと卒業できましたよ。(笑)
また、0.99999999=1  も、もちろん近似値であり、
それを無理矢理、1とする考えを押しつけても、
私のように信じないものは信じないです。
納得のいかないものは納得のいかないままでもいいことってあるのではないでしょうか?
 どうしてもそれを知りたいものは、自分でその道に進むでしょうし。
 とにかく、中学生に強引に理解させる範囲を超えていると考えるべきなのではないでしょうか?
 それより、もっと大事な教育があるはずです。現代の学校教育においては。。。
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この回答へのお礼

お礼遅れてすみませんでした。
ええっと。私は教師じゃないんです。
この疑問をスッキリ解決してあげられるヒントが欲しかったもので・・・
回答ありがとうございました。

お礼日時:2001/01/12 20:24

Nakaさん< それダメです。



返さないと決まったら、ただちに損金として処理できますが、返すと言いつつ返さないのは不良債権と申しまして、銀行が潰れるんです。

日本の銀行屋さんは数学苦手みたいですから、心配ですねえ。

osafuneさん、お邪魔しましたー
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◆Naka◆


中学生ですか。
では、こんなのはどうでしょう?

「いつか返す」と言ってお金を借りていったヤツがいる。1日、2日たっても返さない。1ヶ月、2ヶ月、いや1年、2年、それどころか10年、20年経っても返さない。これは「返さない」と言っているのと同じだろう??
それと同じで、0.9は0.9だ。そして0.99は0.99だ。だけど、0.999999999…と、どこまでも続けば、それはもう「1」と同じだぁ!
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0.99.... = 1を説明した後に、せっかくだから、極限の概念を導入的に解説するのに利用してはどうでしょうか。


0.9
0.99
0.999
:
という数列をイメージさせるんですね。また、
1/2 + 1/4 + 1/8 + .... = 1
も一緒にやると、観点が広がって面白いと思うんです。

もうちょっとadvanceできる生徒さんなら、実数=「無限小数の世界」の中に整数が埋め込まれる「同一視」の仕組みを説明したらどうでしょう。(まずは分数への埋め込みから入った方が、分かりやすいかも知れない。)
 これで、tullioさんのおっしゃる「本当のこと」が伝わるのでは?
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この回答へのお礼

お礼遅くなりました。
>1/2 + 1/4 + 1/8 + .... = 1
これもおもしろいですね。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/01/12 20:17

逆に私は自分自身が数学者ですが...



本当のことを教えるのが良いのではないでしょうか.

「つまり,『0.999…』ってのは『1』をややこしく書いただけなんだよ」

逆に言ってもいいかもしれませんが...
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この回答へのお礼

お礼遅くなりました。
そうですね、みんな普通数学の世界では全てがハッキリカタがつく(ワリキレる)と思ってますよね。
ともあれ御回答ありがとうございました。

お礼日時:2001/01/12 20:15

わたしが中学生のときもこの謎にはまってしまいまして、秀才のN君からosafuneさんと同じように証明してもらったことがあります。

これは一応理解はできましたが、しかし納得できず、悩みました。やりかたの違う証明が複数あれば納得できそうです。
先の3件の解答もいっしょに紹介するのもひとつの案でしょう。
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この回答へのお礼

c-chanさん、回答ありがとうございました。
お礼遅れてすみませんでした。

お礼日時:2001/01/11 20:56

回答ではなくアドバイスですが参考になればと思います。



厳密に、つまり数学的に正しいとされる証明は、0.99・・・を等比数列の無限和として証明しなければなりません。
中学生相手にご説明なさるということですので、求め方は記述しません。
厳密でなければ、一番分かり易いのはこの方法ではないでしょうか?

1/3=0.33・・・
これは直感的にもわかりやすいですね。
両辺を3倍すると、
1=0.99・・・

この方法も、質問されている方法も極限値が存在するのを仮定しているのが不正確な点です。

私は数学の専門家ではないので専門家の方の補足をお待ちいたします。
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この回答へのお礼

Astroiaさん、ありがとうございます。
ふむふむ、この方法も分かりやすいですね。
お礼が遅れて申し訳ありませんでした。

お礼日時:2001/01/11 20:52

もしかしたら、逆からの説明のほうが楽かもしれないですよ。

何かの本に書いてあった説明です。
_______________________
x=1のとき、

x/3=1/3=0.333333・・・・・

両辺に3をかけて、

x=0.999999・・・・・・

すなわち、1=0.99999999・・・・・
________________________

なんで、3で割るのかは・・・なんか意味があったような無かったような。
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この回答へのお礼

ryumuさん、御回答ありがとうございました。
おおっ!ryumuさんのやり方でも1=0.999999・・・になりますね。
お礼遅くなりました。

お礼日時:2001/01/11 20:44

1÷3=0.3333・・・


x÷3=0.3333・・・
ゆえに、x=1

この回答への補足

あぁっ、何を言ってるんだこの俺は!
なる訳ありませんよね?
重ね重ね申し訳ありません。トホホ・・・

補足日時:2001/01/11 20:37
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この回答へのお礼

nanashisanさん、御回答ありがとうございます。
お礼、遅くなって申し訳ありませんでした。
えっと・・・nanashisanさんの回答のxに任意の数字を代入すると式が成り立たなくなりますよね?
私の質問の式だとxに任意の数字を入れても、式が成り立つんですよ。
不思議でしょう?

お礼日時:2001/01/11 20:34

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導関数の定義式から
f(2x)の導関数
=lim[h→0]{f(2(x+h))-f(2x)}/h
=lim[h→0]{f(2x+2h)-f(2x)}/h
=lim[h→0] 2{f(2x+2h)-f(2x)}/2h
(2h=k とおくと)
=lim[k→0] 2{f(2x+k)-f(2x)}/k
=2f ' (2x)

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左辺も右辺も何か変な感じがしますが。
それとも、d/dxってひとまとまりなんでしょうか?

Aベストアンサー

あなたがどの段階での数学を知ってるかに依存します.
高校から大学初年くらいでしたら
d/dx は微分を表す記号だと思って「ひとかたまり」だと
思うほうがよいです
ただし,こういう分数の形にしてあるのは
積分を扱うときに置換積分の公式が覚えやすくなるからです.

数学専攻,もしくは数学を専攻しようというように思ってるなら
df/dx は「分数」と同じようなものだと思っておいた方が
よいかもしれません.
「微分形式dx」と「外微分d」と呼ばれるものが定義され
これに対していろいろやっていくんですが,
関数fに対して外微分 d を作用させるというのを
df = f' dx と定めます.
したがって,f' = df/dx = g ならば df =g dx という
計算が成立します.

微分係数の「係数」というのは df = f' dx で
「微分」形式dxの「係数」が f' だという風にも
解釈できます.

QX^2+Y^2=r^2 の両辺をXで微分すると、X+YY’=0 

X^2+Y^2=r^2 の両辺をXで微分すると、X+YY’=0 
なぜこうなりますか?
2X+2Y=0
ではないでしょうか?
これを解いた過程を教えてください。

Aベストアンサー

dy
―=
dx

dy dt
―・―
dt dx
の公式使います

dy^2
―  =
dx

dy^2 dy
―  ―  =
dy  dx

 dy
2y―
 dx

dy/dxっていうのはy'と書くこともできますから

2x+2yy'=0⇔x+yy'=0になります

Q「c=10^-10でfは全ての実数で連続でx>0で正値をとる時,∫[c..∞]f(x)dxが収束するならばlim[x→∞]f(x)=0」

「c=10^-10でfは全ての実数で連続でx>0で正値をとる時,
∫[c..∞]f(x)dxが収束するならばlim[x→∞]f(x)=0」
の真偽判定問題です。

偽となる反例として
f(x)が底辺が1/n^2の二等辺三角形の側辺を辿るような
ジグザクの折れ線のグラフ(この時lim[x→∞]f(x)は振動)なら
全二等辺三角形の総和はΣ[n=1..∞]1/2n^2で収束と思ったのですがこれはx>0で正値をとる事に
反してしまいます。
やはり,この命題は真となるのでしょうか?

Aベストアンサー

過去に同じ質問がありました。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3653990.html

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む


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