x＋y＋z＝12の正の整数解の個数

求め方は11!/2!9!で55個だと思うんですが、
なぜそうなるのかわかりません。

x-1=X y-1=Y z-1=Zとすると、
X+Y+Z=9となるので、

と書いてあったんですが、さっぱりわからないです。。

お願いします。

No.1 回答者： mii-japan 回答日時： 2006/06/27 17:10

x,y,zの全てが異なる整数　と言う制限は無いのですね

判りやすく説明すると

x+y+z=12　でx,y,zは正の整数ですから
x,y,zのとりうる範囲は1～10（どれかが11だと最低でも13になってしまう）

xが決定した場合　y,zの値は
12-x=y+z

x=1　のとき　y+z=11　y=1、z=10～y=10、Z=1　の10個
X=2　のとき　y+z=10　y=1、z=9～y=9、Z=1　の9個
X=3　のとき　y+z=19　y=1、z=8～y=8、Z=1　の8個
　　　・
　　　・
X=9　のとき　y+z=3　y=1、z=2、y=2、Z=1　の2個
X=10 のとき　y+z=2　y=1、z=1　　　　　　の1個

で
1+2+・・・・+9+10=55

No.2 回答者： p-p 回答日時： 2006/06/27 17:16

すいません

整数解なら　こたえは　無限にありますよ
（整数ってマイナスもありますよね！）

X＝1億　ｙ＝マイナス1億　ｙ＝１２でも　OKですから

自然数じゃないですか？（自然数なら使える数字は１～１２まで）

それなら　自然数は　０を含まないから
自然数なら使える数字は１～１２までですが
０が使えないので
１０＋１＋１や１０＋１＋１や１＋１０＋１となり使える最大の数字が１０となるのがわかります

＞x-1=X y-1=Y z-1=Zとすると、
X+Y+Z=9となるので、
↑はまちがいです　おのおのを置き換えると
ｘ＋Y＋Z＝１０です

こたえは　１０＋９＋８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１で　
５５通りです

No.3 回答者： zap35 回答日時： 2006/06/27 17:36

Ｘ、Ｙ、Ｚは正の整数だからゼロは含みませんね。

このように考えてみてください。１２の数字を三つの群に分ける方法を考えます（これがＸ、Ｙ、Ｚ）の値となります。

１２の丸を並べて考えてみた場合
○○○○○○○○○○○○
「分け目」を入れられる場所は１１箇所あります。（丸印と丸印の間のすきまの数）

１２を三つに分けるためには１１箇所のすきまの内、２箇所を選択して分け目を入れればよいわけです。
従ってその組み合わせは　１１Ｃ２　＝　１１！÷（９！×２！）　＝　５５　通り

No.4 回答者： postro 回答日時： 2006/06/27 17:45

りんご、みかん、なし、がそれぞれたくさんある。

あわせて１２個入りのくだものかごを作るのに何通りあるか？
ただし、それぞれ最低１個は入れる。
この問題は上の問題と同じことなのです。
手始めに次の問題をやってください。
りんご、みかん、なし、がそれぞれたくさんある。
あわせて９個入りのくだものかごを作るのに何通りあるか？
ただし、入らないくだものがあってもよい。
これは典型的な重複組み合わせの問題です。
3H9=11C9=55
で求められます。
これが、あわせて１２個入りのくだものかごを作るのに何通りあるか？
ただし、それぞれ最低１個は入れる。
となっても、初めにそれぞれ1個ずつ入れてから考えればおなじことになります。
もとの問題は、りんご、みかん、なし、をそれぞれｘ、ｙ、ｚ　に対応させて考えるとおなじことだとわかります。

No.5 回答者： karura_gq 回答日時： 2006/06/27 17:48

組み合わせっぽい考え方で解いてみます(^^ゞ

「○」が12個あったとします。
○○○○○○○○○○○○

これに「|」を２箇所いれます。
○｜○｜○○○○○○○○○

「｜」で仕切られた○の個数を左からx,y,zの解とします。
この場合は(x,y,z)=(1,1,10)ですね。

正の整数解という条件は
(1)「○」と「○」の間に「｜」を２個入れない
(2)両端の「○」の外側に「｜」は入らない
という条件になります。

○は12個ありますので、「○」と「○」の間は11個ありますね。
その11個のうち、2ヶ所に「｜」を入れますので
解は11!/2!9!になります。


もしこの考え方がわからなければ
今まで答えて頂いた方のように強引に代入して説いていくほうが
わかりやすいかもしれません。

No.6 回答者： age_momo 回答日時： 2006/06/27 18:54

重複組み合わせをご存知でしょうか？

リンゴ12個を3人に配る、ただし、みんな最低一個はもらえるとするという場合、
最初に3人に1個ずつ配っておいて残り9個を重複組み合わせの公式に当てはめて
数えます。重複組み合わせの公式は　n個を　k人に配る場合

kHn=(n+k-1)C(k-1)

で計算します。この場合、12個の1をx,y,zに配ったと考えれば最初に3個は
x,y,zに配っておいて残りの9個を重複組み合わせの公式に当てはめます。

(9+3-1)C(3-1)=11C2=11!/9!2!=55

ですね。重複組み合わせの考え方は参考URLをどうぞ。
この中で丸棒分配法が一番、分かりやすいですかね。

参考URL：http://www.nikonet.or.jp/spring/repeat/repeat.htm

No.7 回答者： hika_chan_ 回答日時： 2006/06/27 22:57

現代っ子は、「H」は習ってないと思いますよ～。

（笑）

たぶん、ちょっと昔の教科書には載っていると思いますよ～