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0≦θ≦2πのとき、sinθ≦tanθを満たすθの範囲を求めよ。

この問題で、
tanθ(cosθ-1)≦0
となったんですけど、範囲はどうなるのかわかりません。
もし、仮にcosθだけで、cosθ(cosθ-1)≦0であれば、範囲は0≦cosθ≦1だと分かるんですけど、tanθとcosθが出てきた場合、範囲はどうなるんですか?
わかる人がいれば、説明をお願いします!!

A 回答 (5件)

No.4です。

訂正です。(タイプミスでした)

-----------------------------
今、0<θ<2πなので、0<2θ<4πであり、この範囲でsin2θ≧0となるのは、0<2θ≦π、2π≦2θ≦3πである。
つまり、0<θ≦π/2、π≦2θ≦(3/2)π

以上により、
0≦θ≦π/2、π≦2θ≦(3/2)π、θ=2π
-----------------------------

の部分を以下のように訂正します。
-----------------------------
今、0<θ<2πなので、0<2θ<4πであり、この範囲でsin2θ≧0となるのは、0<2θ≦π、2π≦2θ≦3πである。
つまり、0<θ≦π/2、π≦θ≦(3/2)π

以上により、
0≦θ≦π/2、π≦θ≦(3/2)π、θ=2π
-----------------------------
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三角関数の不等式では、tanは使わない方がわかりやすいです。

tanをsin/cosにして計算します。

sinθ≦tanθ
sinθ≦sinθ/cosθ
sinθ・cos^2θ≦sinθcosθ (←※)
sinθ・cos^2θ-sinθcosθ≦0
sinθcosθ(cosθ-1)≦0
(1/2)sin2θ(cosθ-1)≦0・・・(1)

1.θ=0,2πのとき
cosθ=1なので(1)式は成立する。

2.θ≠0,2πのとき
cosθ<1なので、cosθ-1<0となり、(1)式の両辺をcosθ-1で割ると、
(1/2)sin2θ≧0
今、0<θ<2πなので、0<2θ<4πであり、この範囲でsin2θ≧0となるのは、0<2θ≦π、2π≦2θ≦3πである。
つまり、0<θ≦π/2、π≦2θ≦(3/2)π

以上により、
0≦θ≦π/2、π≦2θ≦(3/2)π、θ=2π
(この問題の場合、グラフを書くと一目瞭然ですが。)

※:両辺にcos^2θ≧0を掛けた。cosθではなくcosθの2乗を掛けたのは、不等号の向きが変わらないようにするため。
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この問題の場合、単位円(半径1、原点中心の円)を書いてsinθ、tanθを考えるとすぐに範囲が出ますよ。



sinθ・・・その角度のときの円との交点のy座標
tanθ・・・その角度のときのx=1との交点のy座標
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半角の公式を使えば簡単になります。

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2次の不等式の基本に戻りましょう。



AB≦0 より (A≧0 かつ B≦0) もしくは (A≦0 かつ B≧0)

『かけて負』になるのは『片方が正でもう片方が負』だからです。

tanθ(cosθ-1)≦0

tanθが正になるθの範囲はどうなってますか?
その時は(cosθ-1)は負になっていなければなりません。
両方が成立するθの範囲はどうなっているでしょうか?

そして
tanθが負
(cosθ-1)が正
を同時に成立するθの範囲も考えてください。
(こちらは0にしかならないか)
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