テンソルについて質問です

ラマン散乱について勉強していたのですが、そこで分極率がテンソルであらわされ、それはラグビーボールのような形をしていると考えればよいと書いてありました。そもそもテンソルのイメージもよくわからないので、教えていただけないでしょうか？よろしくお願いします。

No.1 回答者： walkingdic 回答日時： 2006/07/27 23:52

基本的に一般的な物質の分極率はテンソルで表記されます。

で、テンソルとはなんぞやということなのですが、単純にわかりやすく書くと、実際に生じる分極Ｐはベクトルで表せます。
そして、入射する電場Ｅもベクトルで表せます。

ではＰとＥをつなぐ式で、分極はどう表せばよいのかというと、行列で表すしかありません。つまり、

Ｐｘ＝ａ１１×Ｅｘ＋ａ１２×Ｅｙ×ａ１３×Ｅｚ
Ｐｙ＝ａ２１×Ｅｘ＋ａ２２×Ｅｙ×ａ２３×Ｅｚ
Ｐｚ＝ａ３１×Ｅｘ＋ａ３２×Ｅｙ×ａ３３×Ｅｚ

です。ここでａ１１～ａ３３は各電場が与える影響であり、これが分極率に関係します。具体的にこれは電気感受率と言われていますね。
で、上記の式を行列で表すと、

Ｐ＝Ａ×Ｅ

となり、このＡは３ｘ３の行列になります。でこのＡをテンソルと言います。

厳密な数学的取り扱いはあるのですけど、とりあえず一番わかりやすいのは上記の通りです。

No.2 回答者： coherent_laser 回答日時： 2006/07/29 00:13

テンソル＝行列

正確ではありませんが大雑把に説明します．光には偏光という性質があります．つまり波の振動している方向です．波が振動している各方向それぞれに対して分極の起きる大きさが異なるので，それぞれの方向に対してその係数を定義する必要があります．空間方向はx,y,zの3次元あるので，(線形)分極を表現するには最低でも3x3の行列で定義する必要があります．ラマンテンソル(非線形分極)の場合にはx,y,zのほかにxy,yz,zxなどの項も考えなくてはいけなかったはずですので，もっと大きな行列になったはずですが．．．何×何のテンソルだったか良く覚えてない．

この回答へのお礼

テンソルが行列で表されることはわかったのですが、それがなぜラグビーボールのような形をしているといえるのでしょうか？この事についても、知っていらしゃれば教えてください。またこのことが詳しく書いてある本はありますか？

お礼日時：2006/07/29 08:28

No.3 ベストアンサー 回答者： toranekosan222 回答日時： 2006/07/29 14:27

二次のテンソルが行列になったところから。

その行列の固有ベクトルは互いに直交してます。
だけれども、ベクトルの大きさは固有値に依存します。
EもPもベクトルであるとして、ある係数a1,a2,a3
これが、行列の固有値となる。その固有ベクトルを
E1,E2,E3として、

P=a1E1+a2E2+a3E3
で展開出来る。
この状況で、a1などがあるパラメータtで
変化したとすると、
Pをパラメータtにそって軌跡を追ってみると、
ラグビーボールのような楕円回転体の領域を
動いているというのが想像できると思います。
これに関しては
P^2=(a1)^2E1^2+(a2)^2E2^2+(a3)^2E3^2=const
という条件が必須です。

E1、E2,E3が正規直交となっていれば、球のなかを
Pが動いているイメージとなるでしょう。

なので、きっと、このテンソルの値は変化する
って事をいってるのかな？？

分局率は詳しくないので、まちがってたらごめんなさい。