exp(jωt)が正弦波になると聞いたのですが、それはどうしてなのでしょうか?
すいませんけど教えていただけないでしょうか?よろしくお願いします。

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A 回答 (4件)

nubou さんの言われるように,実部を取る(あるいは虚部を取る)ということです.


電気回路や強制振動などでよく出てくる技法ですが,
実際に虚数の振動が起きているわけではありません.
現実の電流や変位はあくまで実数ですから.

背景にあるのは,現象を支配する微分方程式の線形性です.
例えば,L, C, R の直列回路で出てくる
(1)  L(d^2 I/dt^2) + R(dI/dt) + I/C
ですと,I = I_0 cos(ωt) とおいて(1)を計算したものと,
I = I_0 exp(jωt) とおいて計算し,実部をとったものとは同じになります.
これは,I = J + K として(1)を計算すると
(1)  L(d^2 J/dt^2) + R(dJ/dt) + J/C
    + L(d^2 K/dt^2) + R(dK/dt) + K/C
となって,J 部分と K 部分とが無関係で単に和になっていることから来ています.
I = I_0 exp(jωt) の Re(I) が J,j×Im(I) が K と思えばよいわけです.
Re, Im はそれぞれ実部,虚部をとる記号です.

こういうことがあるので,
(1)の様な式ではI_0 exp(jωt) の実部を先にとってから計算するのと,
計算してから実部を取るのとは同じになるのです.
nubou さんが書かれていますように,
cos(ωt) や sin(ωt) の表現よりは exp(jωt) の方が扱いやすいので,
exp(jωt) が使われるのです.
最後に実部あるいは虚部を取ることがいつも背景にあります.

注意しないといけないのは,線形でないとき,あるいは線形でない量です.
例えば,(dI/dt)^2 の様な項があると線形性が失われますので,
今のような exp(jωt) の表現ではうまくいきません.

また,微分方程式自体が線形でも,
(電流×電圧)の様な量は exp(jωt) で掛け算を計算してから実部(or 虚部)を取るのと,
先に実部(or 虚部)を取ってから掛け算をするのとでは結果が異なります.
もちろん,後者の手続きが正しいのです.
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ちなみに、複雑な交流回路を学ぶに当たって、必ず複素関数を「使いますが」、ほとんどの学生が、「何故、使えるのか」を知りません。

私も、複素関数論の本を読んでみましたが、途中で挫折しました。そこで、数学科の先生を訪ねて、助言を得ようと思いました。私の質問の内容は、「交流理論で使う、複素数の関数は、数学で保障されているのですか?」というものです。

師曰く、「別に数学で保障しているわけじゃない。数学は、それ自身で勝手に進んでいるだけだ。応用のことは、工学の先生が、これは使える(利用できる)と判断しただけである」

ようするに、電気回路を学ぶに当たっては、先人の英知に感謝しなければならないということを、ここに強調したいと思います。(でも、なんかよくわからんね)

以上!
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  exp(x) というのは、e^x のことで、eを底とする巾乗です。
 
  e^(jx) という関数をテイラー展開すると、この関数は
  e^(jx)=cos(x)+j*sin(x) という風な形になっていることが分かり、
 
  exp(jωt)=e^(jωt)=cos(ωt)+j*sin(ωt) となり
  これは、後ろの項が虚数になっていますが、それぞれ、実数での三角関数(つまり正弦波)と虚数での正弦波になっています。
 
  虚数の正弦波とは何に使うのか、よく分からないこともあるのですが、実際に電気力学や電磁気学では、実数の正弦波振動と虚数での正弦波振動と両方とも起こっていると考えると、物理現象が、よりうまく表現できる場合が出てくるので、また数学的にも、この方が計算し易い場合もあり、こういう表現を使います。
 
  exp(jωt) は、e^(jωt) で、それは、上に言ったように、実数の正弦波成分(cos)と、虚数の正弦波成分(sin)の合わさったものになるので、正弦波だということです。
  
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オイラーの式によればexp(j・x)=cos(x)+j・sin(x)です


従ってexp(j・ω・t)=cos(ω・t)+j・sin(ω・t)です
電気回路では取り扱いがやっかいなcos(ω・t)を使わず取り扱いが便利なexp(j・ω・t)を使い最終的に波形がほしいときにexp(j・ω・t)の実部を取ってcos(ω・t)を求めるのです
exp(j・ω・t)を微分するとj・ω・exp(j・ω・t)になりj・ωをかけるだけで済みますがcos(ω・t)の場合-ω・sin(ω・t)になりやっかいなのです
もっと一般的にCを複素数として波形をC・exp(j・ω・t)で表します
θとRを実数としてC=R・exp(j・θ)ならばC・exp(j・ω・t)の実部は
R・cos(ω・t+θ)になります
つまりC・exp(j・ω・t)によって位相の異なる正弦波も表現できるのです
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例えば4Ωで50Wというオーディオアンプは、14.2Vしか出せません。
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位相のずれた正弦波同士の加算は正弦波になります。

角速度ω、位相差δとすると、正弦波2波の合成は数式では
A(t)=sinωt + sin(ωt-δ)
になります。

ここで、
ωt-δ/2=α、δ/2=β と置くと
A(t)= sin(ωt-δ/2 + δ/2)+ sin(ωt-δ/2 -δ/2) = sin(α+β) + sin(α-β)

になります。

三角関数の加法定理から、
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
を代入すると、

sinωt + sin(ωt-δ) = sinαcosβ+cosαsinβ + sinαcosβ-cosαsinβ
= 2sinαcosβ
= 2sin(ωt-δ/2)cos(δ/2)

つまり、同一振幅で位相がδずれた正弦波を加算した場合、
・位相のずれはδ/2(中間の位相)で
・振幅は2cos(δ/2)倍
の正弦波になります。今回の質問(位相差90度)の場合は、結果は「45度遅れて位相が√2倍の正弦波」です。

計算は省きますが、もうちょっと一般化すると、
「同一周期」で、位相・振幅の異なる正弦波を加算した場合、その結果も正弦波になります。

位相のずれた正弦波同士の加算は正弦波になります。

角速度ω、位相差δとすると、正弦波2波の合成は数式では
A(t)=sinωt + sin(ωt-δ)
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ここで、
ωt-δ/2=α、δ/2=β と置くと
A(t)= sin(ωt-δ/2 + δ/2)+ sin(ωt-δ/2 -δ/2) = sin(α+β) + sin(α-β)

になります。

三角関数の加法定理から、
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
を代入すると、

sinωt + sin(ωt-δ) = sinαcosβ+cosαsinβ + sinαcosβ-cosαsinβ
= 2sinαcosβ
= 2sin(ωt-δ/2)cos(δ/2)

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