鋼材のたわみ

鋼材のたわみの計算ですごく悩んでいます。
角鋼38mmで支点間距離が2.0ｍです。
そのときの角鋼のわたみの値が知りたいのですが、
知人に計算してもらったら0.063cmという答えがでてきました。
一応公式はインターネットで調べてわかったのですが、僕が計算すると
ぜんぜん違う答えがでてきます。だれかご指導願います。

No.3 ベストアンサー 回答者： inara 回答日時： 2007/02/26 23:43

＞分母の部分の5*P*L^4のPの部分はｍ当りの質量ですか？

そうですよ。鋼材の長さが L[ m]幅が w [m]、厚さが t [m] のとき、単位長さあたりの荷重 P [N/m} は P = m*g/L = ρ*w*t （ m = ρ*w*t*L だから) です。

＞ぼくはこのPの値に2.0を掛けて計算してました。
実は、私が持っている材料力学の本は２冊[1,2]あったのですが、一方の書籍には δmax = (5*P*L^4)/(768*E*I) と、２倍違う式が出ていました。もう一方は (5*P*L^4)/(384I) でした。おかしいなと思って検算したら、δmax = (5*P*L^4)/(384*E*I) が正解でした。テキストといえども間違ったことが書いてあるので注意しましょう。ちなみに前者は[1]で後者は[2]ですが、[2]にも間違いがありました（C1の符号が逆）。


[1] 有光隆「図解でわかるはじめての材料力学」技術評論社, p.128.
[2] 武藤睦治・黒崎茂・岡崎正和・新津靖「例題と演習で学ぶ材料力学」朝倉書店,p. 108.

No.2 回答者： inara 回答日時： 2007/02/25 15:21

鋼材は長さ2mで、その両端が支持されているわけですね。

「支点間隔 < 長さ」 だと結果が違いますので確認です。
だとしたら、最大たわみ（角鋼の中央でのたわみ）δmax[m]は次式で表されます。
δmax = (5*P*L^4)/(384*E*I) --- [1]
P [N/m]　は鋼材にかかる分布荷重、L [m] は鋼材の長さ、E [Pa] は鋼材のヤング率、I [m^4] は鋼材の断面2次モーメントです。

鋼材の密度を ρ[kg/m^3]、重力加速度を g [m/s^2]、鋼材の幅（水平方向）をw [m]、鋼材の厚さ（重力方向）を t [m] とすれば、分布荷重は、P = ρ*w*t*g、矩形断面の断面2次モーメントは I = (w*t^3)/12　なので、
δmax = (5*P*L^4)/(384*E*I) = (60*g*ρ*L^4)/384*E*t^2) = (5*g*ρ*L^4)/(32*E*t^2)
となり、鋼材の幅 w は無関係となります（棒でも平板でも厚さと長さが同じなら最大たわみは同じ → 自重たわみなので当たり前）。

t = 0.038 [m]、L = 2 [m]、E = 200 [GPa] = 2×10^11 [Pa]、ρ = 7850 [kg/m^3]、g = 9.8 [m/s^2] の場合、δmax = 0.000666 [m] = 0.0666 [cm] となります。

[1]の導出
梁の一端からの距離を x [m]、としたとき、梁に等荷重が作用したときの、x での曲げモーメントは M = P*L*x/2-P*x^2/2。
梁のたわみδと曲げモーメントの関係 -E*I*d^2(δ)/dx^2 = M より、 E*I*d^2(δ).dx^2 = P*x^2/2-P*L*x/2。
両辺をxで積分すると、 E*I*dδ/dx = P*x^3/6-P*L*x^2/4+C1（定数）---[2]。
さらにxで積分して、E*I*δ = P*x^4/24-P*L*x^3/12+C1*x+C2（定数） ---[3]。
x = 0 のときδ= 0 だから式[3]より、C2 = 0 --- [4]。
また、x=L/2でｄδ/dx=0（傾斜なし）だから、式[2]より、P*(L/2)^3/6-P*L*(L/2)^2/4+C1 = 0 → C1 = P*L^3/24 --- [5]。
したがって式[3],[4],[5]より、δ = ( P*x^4/24-P*L*x^3/12+C1*x+C2 )/(E*I) = ( P*x^4/24-P*L*x^3/12 +P*L^3*x/24 )/(E*I)。
最大たわみδmaxは x = L/2のときのδだから
δmax = { P*(L/2)^4/24 - P*L*(L/2)^3/12 + P*L^3*(L/2)/24 } / (E*I) = (5*P*L^4)/(384*E*I)　←式[1]

No.1 回答者： inara 回答日時： 2007/02/24 18:13

faajm003さんが計算したときに使った以下の情報があればどこが間違っているか指摘できます。

(1) 鋼材の密度[kg/m^3]
(2) 鋼材のヤング率[Pa]
(3) インターネットで調べてわかった式
(4) faajm003さんの計算結果

この回答へのお礼

返事が遅れてすみません。
inaraさんがおしてくださった公式でやってみましたけど
分母の部分の5*P*L^4のPの部分はｍ当りの質量ですか？
知人の答えもinaraさんの答えも近い値がでてるので正解だとおもいます。
ぼくはこのPの値に2.0を掛けて計算してました。
ご指導ありがとうございました。

お礼日時：2007/02/25 21:24